Gagnsemi (örhagfræði)

Í hagfræði og einkum í örhagfræði er gagnsemi fall stærðfræðileg fall sem lýsir óskum efnahagsgreina . Það úthlutar rauntölu á hvaða búnt af vörum sem er , á þann hátt að verðmætari búntir af vörum fá stærri fjölda. Úthlutuðu númerin eru kölluð ávinningur af viðkomandi búnt.

Í örhagfræðilegri kenningu innihalda gagnsemi aðeins yfirlýsingar um stigveldið: Ef einn búnt af vörum skilar æðri gagnsemi en annar, þá er aðeins hægt að álykta að sá fyrrnefndi sé „betri“ en sá síðarnefndi frá sjónarhóli viðkomandi efnahagslega viðfangsefnis. ; hversu mikil fjarlægðin milli tölanna er hefur enga merkingu. Slíkar gagnsemi er einnig kölluð venjuleg gagnsemi, vegna þess að þau tilgreina eingöngu röð vöruflokksins. Hugmyndin um venjuleg gagnsemi er byggð á öðrum fræðilegum grunni en svokölluðum kardinal gagnsemi, þar sem einnig er hægt að túlka mismuninn á gagnsemi tveggja vara . ^[1]

Hugtakið notagildi er notað bæði beint í örhagfræði og í samhengi við þjóðhagsleg málefni.

Markmiðið með því að hámarka notagildi er oft gert ráð fyrir aðgerðarákvarðandi viðleitni neytandans (sbr. Homo oeconomicus ). Annað markmið væri fullnægjandi .

skilgreiningu

Í eftirfarandi er gert ráð fyrir að aðeins sé hægt að mæla gagnsemi með venjulegum hætti og gagnsemi virka er kynnt eins og hún er byggð upp í kenningu heimilanna .

Lýsandi skilgreiningu í tveggja vörumálinu

Gagnsemi virka í tveggja vöru kassanum (hér: Cobb-Douglas gagnsemi, sjá hér að neðan).

u(x_{1},x_{2})={\sqrt {x_{1}}}\cdot {\sqrt {x_{2}}}

{\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = {\ sqrt {x_ {1}}} \ cdot {\ sqrt {x_ {2}}}}

u (x_ {1}, x_ {2}) = {\ sqrt {x_ {1}}} \ cdot {\ sqrt {x_ {2}}}

Ef maður takmarkar umfang vörubúnaðarins í tvær vörur til einföldunar má til dæmis ímynda sér búnt af vöru A sem samanstendur af tveimur vörutegundum: kiwíávöxtum (góðum 1) og kirsuberjum (góðu 2 ). Ákveðið magn af kiwi er nú í búnt A - merkt með $x_{1}^{A}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {A}}$ $x _ {{1}} ^ {{A}}$ - og ákveðið magn af kirsuberjum - merkt með $x_{2}^{A}$ ${\ displaystyle x_ {2} ^ {A}}$ $x _ {{2}} ^ {{A}}$ innihalda; maður skrifar stutt fyrir þennan búnt af vörum $A=(x_{1}^{A},x_{2}^{A})$ ${\ displaystyle A = (x_ {1} ^ {A}, x_ {2} ^ {A})}$ $A = (x _ {{1}} ^ {{A}}, x _ {{2}} ^ {{A}})$ . Ímyndaðu þér á sama hátt annan búnt af vörum B úr kiwi og kirsuberjum, sem fer í gegnum í samræmi við það $B=(x_{1}^{B},x_{2}^{B})$ ${\ displaystyle B = (x_ {1} ^ {B}, x_ {2} ^ {B})}$ $B = (x _ {{1}} ^ {{B}}, x _ {{2}} ^ {{B}})$ sést. Með tilteknum gildum, til dæmis, geturðu ímyndað þér það $A=(2,6)$ ${\ displaystyle A = (2.6)}$ $A = (2.6)$ , það er, vöru búnt A inniheldur tvö kiwi og sex kirsuber, meðan $B=(3,6)$ ${\ displaystyle B = (3,6)}$ $B = (3,6)$ . Ef maður gerir ráð fyrir, eins og venjulega, að óskirnar séu einhæfar (tilviljanakennt: „meira er betra“), ætti heimilið að velja B frekar en A. Það eru óendanlega margir notkunaraðgerðir sem geta kortlagt óskirnar, þar sem allt sem þeir þurfa að gera er að tryggja að virðisgildi sé til staðar $(3,6)$ ${\ displaystyle (3,6)}$ $(3.6)$ stærri en sá á punktinum $(2,6)$ ${\ displaystyle (2,6)}$ $(2.6)$ . Til dæmis gætirðu haft fall $u_{1}$ ${\ displaystyle u_ {1}}$ $u_ {1}$ nota með $u_{1}(A)=300$ ${\ displaystyle u_ {1} (A) = 300}$ $u_ {1} (A) = 300$ og $u_{1}(B)=890$ ${\ displaystyle u_ {1} (B) = 890}$ $u_ {1} (B) = 890$ . Neikvæð gildi eru einnig möguleg: Vertu $u_{2}$ ${\ displaystyle u_ {2}}$ $u_ {2}$ önnur gagnsemi og $u_{2}(A)=-3$ ${\ displaystyle u_ {2} (A) = - 3}$ $u_ {2} (A) = - 3$ eða. $u_{2}(B)=-1$ ${\ displaystyle u_ {2} (B) = - 1}$ $u_ {2} (B) = - 1$ , þá er þessi gagnsemi einnig í samræmi við óskir heimilisins.

Á sama hátt verða samsetningar af vörum sem heimilinu líkar jafnt að hafa sömu gagnsemi. Ef til dæmis búnt af vörum $C=(4,10)$ ${\ displaystyle C = (4.10)}$ $C = (4.10)$ er litið svo á að það sé álíka gott og vöruknippið $D=(2,11)$ ${\ displaystyle D = (2.11)}$ $D = (2.11)$ , þá hlýtur það einnig að gilda um hvert gagnsemi fall sem $u(C)=u(D)$ ${\ displaystyle u (C) = u (D)}$ $u (C) = u (D)$ .

Formleg skilgreining

Í örhagfræðilegri kenningu er gert ráð fyrir að efnahagsleg viðfangsefni hafi óskir um valmöguleika sem þeim er mögulega í boði. Stærðfræðilega séð er hægt að tákna slíkar óskir (sem geta verið mjög almennar) sem tvöfald tengsl . Til dæmis mun það gera $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ sammála sem vali-skeytingarleysi. Vertu núna $\mathbf {x} _{a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a}}$ ${\ mathbf {x}} _ {a}$ og $\mathbf {x} _{b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {b}}$ ${\ mathbf {x}} _ {b}$ Vöruvektir úr setti $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ af valkostum, þá mun fara í gegn $\mathbf {x} _{a}R\mathbf {x} _{b}:=(\mathbf {x} _{a},\mathbf {x} _{b})\in R$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a} R \ mathbf {x} _ {b}: = (\ mathbf {x} _ {a}, \ mathbf {x} _ {b}) \ í R}$ ${\ mathbf {x}} _ {a} R {\ mathbf {x}} _ {b}: = ({\ mathbf {x}} _ {a}, {\ mathbf {x}} _ {b}) \ í R$ lýst því yfir að búnt af vörum $\mathbf {x} _{a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a}}$ ${\ mathbf {x}} _ {a}$ að minnsta kosti eins gott eða betra en $\mathbf {x} _{b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {b}}$ ${\ mathbf {x}} _ {b}$ Er metið. Í því skyni að varðveita þessar upplýsingar í samsvarandi gagnsemi, virka virði gagnsemi virka fyrir $\mathbf {x} _{a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a}}$ ${\ mathbf {x}} _ {a}$ vera jafn eða hærri en $\mathbf {x} _{b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {b}}$ ${\ mathbf {x}} _ {b}$ . Þetta leiðir til eftirfarandi nákvæmrar skilgreiningar:

Skilgreining ^[2] : Fall $u\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle u \ colon X \ rightarrow \ mathbb {R}}$ $u \ colon X \ rightarrow {\ mathbb {R}}$ er gagnsemi virka sem skilgreinir forgangs-skeytingarleysi $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ ef fyrir allar vöruknippi $\mathbf {x} _{a},\mathbf {x} _{b}\in X$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a}, \ mathbf {x} _ {b} \ í X}$ ${\ mathbf {x}} _ {a}, {\ mathbf {x}} _ {b} \ í X$ á við: $\mathbf {x} _{a}R\mathbf {x} _{b}\Leftrightarrow u(\mathbf {x} _{a})\geq u(\mathbf {x} _{b})$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a} R \ mathbf {x} _ {b} \ Leftrightarrow u (\ mathbf {x} _ {a}) \ geq u (\ mathbf {x} _ {b}) }$ ${\ mathbf {x}} _ {a} R {\ mathbf {x}} _ {b} \ Leftrightarrow u ({\ mathbf {x}} _ {a}) \ geq u ({\ mathbf {x}} _ {b})$ .

Gagnsemi aðgerðir gera það mögulegt að tákna ákveðin tengsl milli óskir og skeytingar á sambærilegan hátt (sjá einnig kaflann Tilvist gagns virka í þessari grein). Kostur þeirra felst í tiltölulega einfaldari stærðfræðilegri stjórnunarhæfni þeirra.

Eins og með greiningu á kjörtengslunum, þá má líka draga afskiptaleysi og strangar ákvarðanir út frá forgangs-skeytingarleysi. Skilgreiningin á ströngu vali $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ stendur: Fyrir tvo kosti $\mathbf {x} _{a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a}}$ ${\ mathbf {x}} _ {a}$ og $\mathbf {x} _{b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {b}}$ ${\ mathbf {x}} _ {b}$ er einmitt þá $\mathbf {x} _{a}P\mathbf {x} _{b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a} P \ mathbf {x} _ {b}}$ ${\ mathbf {x}} _ {a} P {\ mathbf {x}} _ {b}$ ef (1) $\mathbf {x} _{a}R\mathbf {x} _{b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a} R \ mathbf {x} _ {b}}$ ${\ mathbf {x}} _ {a} R {\ mathbf {x}} _ {b}$ , en (2) ekki á sama tíma $\mathbf {x} _{b}R\mathbf {x} _{a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {b} R \ mathbf {x} _ {a}}$ ${\ mathbf {x}} _ {b} R {\ mathbf {x}} _ {a}$ . Er það kl $u$ ${\ displaystyle u}$ $u$ Ef það er gagnsemi, þá með skilgreiningunni hér að ofan, vegna (1), heldur það því $u(\mathbf {x} _{a})\geq u(\mathbf {x} _{b})$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x} _ {a}) \ geq u (\ mathbf {x} _ {b})}$ $u ({\ mathbf {x}} _ {a}) \ geq u ({\ mathbf {x}} _ {b})$ og vegna (2) að ekki $u(\mathbf {x} _{b})\geq u(\mathbf {x} _{a})$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x} _ {b}) \ geq u (\ mathbf {x} _ {a})}}$ $u ({\ mathbf {x}} _ {b}) \ geq u ({\ mathbf {x}} _ {a})$ sem felur bara í sér að með ströngu vali í raun $u(\mathbf {x} _{a})>u(\mathbf {x} _{b})$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x} _ {a})> u (\ mathbf {x} _ {b})}}$ $u ({\ mathbf {x}} _ {a})> u ({\ mathbf {x}} _ {b})$ . Sama gildir um áhugaleysi $I.$ ${\ displaystyle I}$ $I.$ að þeir séu samkvæmt ofangreindri skilgreiningu á $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ kemur fram í gagnsemi virka einmitt með því að fyrir tvo búnt af vörum sem taldir eru jafngildir $\mathbf {x} _{a},\mathbf {x} _{b}:u(\mathbf {x} _{a})=u(\mathbf {x} _{b})$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a}, \ mathbf {x} _ {b}: u (\ mathbf {x} _ {a}) = u (\ mathbf {x} _ {b})}}$ ${\ mathbf {x}} _ {a}, {\ mathbf {x}} _ {b}: u ({\ mathbf {x}} _ {a}) = u ({\ mathbf {x}} _ { b})$ . Hversu stór fjarlægðin milli fallgildanna er eða hversu mikil fallgildin sjálf eru skipta engu máli.

Flokkun og eignir

Gagnsemi hugtak og umbreytingar gagnsemi virka

Túlkunin sem ofangreind skilgreining er byggð á er nokkuð almenn, á þann hátt að ekki er hægt að túlka sértæk gagnsemi hvert fyrir sig - þegar samanburður er á vöruvöndlum er aðeins spurning um hvernig samsvarandi gagnsemi gildir tengjast hvort annað, þ.e. hvort annað sé meira eða jafnt eða minna en hitt. Þetta er byggt á þeirri nálgun að túlka mælanleika ávinningsins sem eingöngu venjulegt . Gagnsemi hugtaks nútíma heimiliskenningar er byggð á þessari forsendu þar sem forgangssamböndin innihalda engar frekari upplýsingar (par samanburður á valkostum). Það er því innsæi skiljanlegt að gagnsemi í þeim skilningi sem skilgreind er hér að ofan er einnig hægt að umbreyta jákvætt og strangt einhæft að vild, þ.e. $f\left[u(\mathbf {x} )\right]$ ${\ displaystyle f \ left [u (\ mathbf {x}) \ right]}$ $f \ vinstri [u ({\ mathbf {x}}) \ hægri]$ inniheldur sömu upplýsingar og $u(\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x})}$ $u (\ mathbf {x})$ , ef aðeins $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ $f \ colon {\ mathbb {R}} \ rightarrow {\ mathbb {R}}$ eingöngu einhæft að aukast í $u$ ${\ displaystyle u}$ $u$ er.

Aðrar gerðir gagnsemisaðgerða eru einnig hugsanlegar - en samrýmast ekki ofangreindri hugmynd. Ef maður mælir til dæmis ávinninginn á kardinalskala , þá væri umbreyting $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ aðeins leyfilegt ef það hefur jákvæða sækni, það er að segja ef $f\left[u(\mathbf {x} )\right]=a+b\cdot u,\;b>0$ ${\ displaystyle f \ left [u (\ mathbf {x}) \ right] = a + b \ cdot u, \; b> 0}$ $f \ vinstri [u ({\ mathbf {x}}) \ hægri] = a + b \ cdot u, \; b> 0$ . Strangari kröfur kardinalskala samsvara hins vegar stækkuðum túlkunarmöguleikum, því hér væri alveg mögulegt af því að gagnsemi við umskipti úr vöruknippum $\mathbf {x} _{a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a}}$ ${\ mathbf {x}} _ {a}$ til $\mathbf {x} _{b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {b}}$ ${\ mathbf {x}} _ {b}$ eykst um 10, en þegar skipt er frá $\mathbf {x} _{a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a}}$ ${\ mathbf {x}} _ {a}$ til $\mathbf {x} _{c}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {c}}$ ${\ mathbf {x}} _ {c}$ hækkar um 20, til að álykta að aukinn ávinningur af $\mathbf {x} _{c}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {c}}$ ${\ mathbf {x}} _ {c}$ á móti $\mathbf {x} _{a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a}}$ ${\ mathbf {x}} _ {a}$ er tvöfalt hærri en hæstv $\mathbf {x} _{b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {b}}$ ${\ mathbf {x}} _ {b}$ á móti $\mathbf {x} _{a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a}}$ ${\ mathbf {x}} _ {a}$ .

Ef maður mælir ávinninginn á hlutföllum þá væri umbreyting $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ aðeins leyfilegt ef það er jákvætt línulegt, það er að segja ef $f\left[u(\mathbf {x} )\right]=b\cdot u,\;b>0$ ${\ displaystyle f \ left [u (\ mathbf {x}) \ right] = b \ cdot u, \; b> 0}$ $f \ vinstri [u ({\ mathbf {x}}) \ hægri] = b \ cdot u, \; b> 0$ . Hér gætirðu séð að ávinningur af vöruknippum $\mathbf {x} _{a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a}}$ ${\ mathbf {x}} _ {a}$ er tvöfalt stærri en sú $\mathbf {x} _{b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {b}}$ ${\ mathbf {x}} _ {b}$ , kemst að þeirri niðurstöðu að fyrrum búnturinn sé einnig tvisvar sinnum gagnlegri en sá síðarnefndi.

Í öfgafullu tilfellinu er engin umbreyting leyfð ( alger mælikvarði ) , en þá er heildarupphæð (t.d. $u(\mathbf {x} _{a})=12$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x} _ {a}) = 12}$ $u ({\ mathbf {x}} _ {a}) = 12$ ) væri túlkandi.

Tilvist gagnsemi

Ef maður gerir ráð fyrir tilvist forgangsröðunar, getur þetta ekki verið táknað í öllum tilvikum með gagnsemi. Frekar verður að gera frekari kröfur um magn af valkostum eða forgangsröð.

Hagnýtir eiginleikar

Byggt á tilheyrandi forgangsröð er einnig hægt að fullyrða um eiginleika gagnsemi.

Tengsl milli eiginleika forgangstengingar og eiginleika gagnsemi sem er smíðað úr henni ^[3] :

$u(\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x})}$ $u (\ mathbf {x})$ eykst einvörðungu eingöngu ef og aðeins ef undirliggjandi val-skeytingarleysi tengist $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ uppfyllir eign strangrar einhæfni.
$u(\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x})}$ $u (\ mathbf {x})$ er hálf-íhvolfur ef og aðeins ef undirliggjandi val-afskiptaleysi-sambandið er $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ er kúpt.
$u(\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x})}$ $u (\ mathbf {x})$ er jafnvel stranglega hálfgerður íhvolfur ef og aðeins ef undirliggjandi forgangs-skeytingarleysi tengist $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ er stranglega kúpt.

Kjör / afskiptaleysi er kallað strangt einhæft ef $\forall \mathbf {x} _{a},\mathbf {x} _{b}:(\mathbf {x} _{a}\geq \mathbf {x} _{b})\wedge (\mathbf {x} _{a}\neq \mathbf {x} _{b})\implies \mathbf {x} _{a}P\mathbf {x} _{b}$ ${\ displaystyle \ forall \ mathbf {x} _ {a}, \ mathbf {x} _ {b}: (\ mathbf {x} _ {a} \ geq \ mathbf {x} _ {b}) \ wedge ( \ mathbf {x} _ {a} \ neq \ mathbf {x} _ {b}) \ felur í sér \ mathbf {x} _ {a} P \ mathbf {x} _ {b}}$ $\ forall {\ mathbf {x}} _ {{a}}, {\ mathbf {x}} _ {{b}}: ({\ mathbf {x}} _ {{a}} \ geq {\ mathbf { x}} _ {{b}}) \ wedge ({\ mathbf {x}} _ {{a}} \ neq {\ mathbf {x}} _ {{b}}) \ felur í sér {\ mathbf {x} } _ {{a}} P {\ mathbf {x}} _ {{b}}$ ; eins og kúpt ef $\forall \mathbf {x} _{a},\mathbf {x} _{b},\mathbf {x} _{c}:\mathbf {x} _{a}R\mathbf {x} _{c}\wedge \mathbf {x} _{b}R\mathbf {x} _{c}\implies \forall t\in [0,1]:(t\mathbf {x} _{a}+(1-t)\mathbf {x} _{b})R\mathbf {x} _{c}$ ${\ displaystyle \ forall \ mathbf {x} _ {a}, \ mathbf {x} _ {b}, \ mathbf {x} _ {c}: \ mathbf {x} _ {a} R \ mathbf {x} _ {c} \ wedge \ mathbf {x} _ {b} R \ mathbf {x} _ {c} \ felur í sér \ forall t \ in [0,1] :( t \ mathbf {x} _ {a} + (1-t) \ mathbf {x} _ {b}) R \ mathbf {x} _ {c}}$ $\ forall {\ mathbf {x}} _ {{a}}, {\ mathbf {x}} _ {{b}}, {\ mathbf {x}} _ {{c}}: {\ mathbf {x} } _ {{a}} R {\ mathbf {x}} _ {{c}} \ wedge {\ mathbf {x}} _ {{b}} R {\ mathbf {x}} _ {{c}} \ gefur til kynna \ forall t \ in [0,1] :( t {\ mathbf {x}} _ {{a}} + (1-t) {\ mathbf {x}} _ {{b}}) R { \ mathbf {x}} _ {{c}}$ og eins strangt kúpt ef $\forall \mathbf {x} _{a},\mathbf {x} _{b},\mathbf {x} _{c}:(\mathbf {x} _{a}R\mathbf {x} _{c}\wedge \mathbf {x} _{b}R\mathbf {x} _{c})\wedge (\mathbf {x} _{a}\neq \mathbf {x} _{b})\implies \forall t\in (0,1):(t\mathbf {x} _{a}+(1-t)\mathbf {x} _{b})P\mathbf {x} _{c}$ ${\ displaystyle \ forall \ mathbf {x} _ {a}, \ mathbf {x} _ {b}, \ mathbf {x} _ {c}: (\ mathbf {x} _ {a} R \ mathbf {x } _ {c} \ wedge \ mathbf {x} _ {b} R \ mathbf {x} _ {c}) \ wedge (\ mathbf {x} _ {a} \ neq \ mathbf {x} _ {b} ) \ felur í sér \ forall t \ in (0,1) :( t \ mathbf {x} _ {a} + (1-t) \ mathbf {x} _ {b}) P \ mathbf {x} _ {c }}$ $\ forall {\ mathbf {x}} _ {{a}}, {\ mathbf {x}} _ {{b}}, {\ mathbf {x}} _ {{c}}: ({\ mathbf {x }} _ {{a}} R {\ mathbf {x}} _ {{c}} \ wedge {\ mathbf {x}} _ {{b}} R {\ mathbf {x}} _ {{c} }) \ wedge ({\ mathbf {x}} _ {{a}} \ neq {\ mathbf {x}} _ {{b}}) \ felur í sér \ forall t \ in (0,1) :( t { \ mathbf {x}} _ {{a}} + (1-t) {\ mathbf {x}} _ {{b}}) P {\ mathbf {x}} _ {{c}}$ . Sjá nánar greinina Preferences Relation .

Afskiptaleysi

Þrjár skeytingarleysi í tveggja vöru málinu.

Afskiptaleysi í þriggja vara málinu

Eins og skilgreint er hér að ofan, gefa gagnsemi aðgerðir til kynna hagnýtingarstigið sem tilteknar vöruknippur búa til. Ef þú horfir á aðgerðina frá annarri hlið geturðu líka séð ákveðinn ávinning ${\overline {u}}$ ${\ displaystyle {\ yfirlínur {u}}}$ $\ yfirlínur {u}$ og spyrja um vöruknippana sem hægt er að ná þessu með. Þetta myndar grunninn að hugmyndinni um skeytingarleysi (einnig gagnsemi jafnt eða iso gagnsemi ). Miðað við búnt af vörum $\mathbf {x} _{a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a}}$ ${\ mathbf {x}} _ {a}$ slökkt, þá er skeytingarleysi formlega magn allra vöruknippa $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ sem gildir um það $\mathbf {x} I\mathbf {x} _{a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} I \ mathbf {x} _ {a}}$ ${\ mathbf {x}} Ég {\ mathbf {x}} _ {a}$ (Afskiptaleysi nemur $\mathbf {x} _{a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a}}$ ${\ mathbf {x}} _ {a}$ ).

Þegar um er að ræða tvær vörur er mjög auðveldlega hægt að gera sér grein fyrir skeytingarleysi eins og þeirri til vinstri. Milli lárétta og lóðrétta ássins er magn allra mögulegra búnta af vörum (hver punktur á þessu svæði markar ákveðna samsetningu af góðu 1 og góðu 2). Á skeytingarferlinum 2 finnast til dæmis allir punktar sem gefa heimilinu sama ávinning og B og þú getur meðal annars séð að heimilið er afskiptalaust á milli C og B (þ.e. finnst C og B vera jafn góð) . Ef, eins og venjulega, er gert ráð fyrir að óskirnar séu einhæfar („meira er betra“), þá skipta skeytingarferlar hærra gagnsemi því lengra sem þeir eru frá upprunanum - vöruflétturnar á skeytingarferli 2 eru því alltaf betri en þeir á ferli 1.

Stærðfræðilega séð er skeytingarleysi sett í þeim skilningi sem skilgreint er hér að ofan stigsett fyrir gagnsemi. Er til dæmis $u(x_{1},x_{2})={\sqrt {x_{1}x_{2}}}$ ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = {\ sqrt {x_ {1} x_ {2}}}}}$ $u (x_ {1}, x_ {2}) = {\ sqrt {x_ {1} x_ {2}}}$ gagnsemi, þá eru meðal annars vöruknippar $(2,8)$ ${\ displaystyle (2.8)}$ $(2.8)$ , $(8,2)$ ${\ displaystyle (8.2)}$ $(8.2)$ og $(4,4)$ ${\ displaystyle (4,4)}$ $(4.4)$ Punktar á skeytingarferlinum fyrir gagnsstig 4, því $u(2,8)=u(8,2)=u(4,4)={\overline {u}}={\sqrt {16}}$ ${\ displaystyle u (2.8) = u (8.2) = u (4.4) = {\ yfirlínur {u}} = {\ sqrt {16}}}$ $u (2.8) = u (8.2) = u (4.4) = \ yfirlínur {u} = {\ sqrt {16}}$ .

Sýnd eignarinnar sem stigasett - skeytingarleysi sem útlínulínur gagnsemi. Í dæminu: Cobb-Douglas gagnsemi virka eins og að ofan; Fjórar útlínulínur / afskiptaleysi eru teiknaðar í (x1, x2) planinu. (Athugið að x2 ásinn hér ekki skerast ás X1 til skýrleika á núll punkt, dettur manni í hug að ás hins vegar til vinstri framan, kunnuglega mynd sýnir afskiptaleysi bugða í tveimur vörum tilfelli.)

Spila fjölmiðlaskrá

„Vörpun“ á útlínulínum í x1-x2 planinu (hreyfimynd).

Það leiðir líka af þessari eign að skeytingarleysi getur ekki skerst. Því ef A og B væru tvö raunverulega ólík áhugaleysi og það væri búnt af vörum $\mathbf {x} '$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '}$ $\ mathbf {x} '$ , sem er að finna í bæði A og B , þá myndi þetta endilega leiða til mótsagnar. Samkvæmt skilgreiningunni á skeytingarleysi myndi það gilda um öll önnur vöruknippi frá A að þeir hafi sömu kosti og $\mathbf {x} '$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '}$ $\ mathbf {x} '$ búa til (því $\mathbf {x} '$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '}$ $\ mathbf {x} '$ er að finna í A); fyrir alla aðra vöruknippi frá B gildir það sama (vegna þess að $\mathbf {x} '$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '}$ $\ mathbf {x} '$ sem er að finna í B), sem leiðir til þess að allar vöruknippur í A og B hafa sama gagnsemi og $\mathbf {x} '$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '}$ $\ mathbf {x} '$ að búa til. Þá geta áhugaleysissettin í raun ekki verið öðruvísi - þvert á forsenduna.

Jaðarhagkvæmni og léleg skiptihlutfall

Jaðargagn

Fyrsta hlutafleiðan $\partial u(\mathbf {x} )/\partial x_{i}$ ${\ displaystyle \ part u (\ mathbf {x}) / \ part x_ {i}}$ $\ að hluta u ({\ mathbf {x}}) / \ að hluta x_ {i}$ gagnsemi virka samkvæmt vöru $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_ {i}$ er kölluð jaðarhagkvæmni þessa góða. Lélegur gagnsemi sýnir greinilega hversu mikið viðbótar tól sem lélegur aukning á magni gott getur verið $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_ {i}$ myndi gefa og láta upphæð allra annarra vara óbreytta. A jaðar gagnsemi af $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ þýðir að þetta góða hefur verið mettað. Frekari eining af þessari vöru (með íhvolfu fallferli) myndi ekki veita neinn frekari ávinning.

Hafa ber í huga að líkt og gagnsemi hefur jaðargagnið eða jaðarhagkvæmni vörunnar í sjálfu sér enga þýðingu. Til dæmis, íhugaðu gagnsemi virka í tveggja vara tilfellinu $u(x_{1},x_{2})=x_{1}+3x_{2}^{2}$ ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} + 3x_ {2} ^ {2}}$ $u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} + 3x_ {2} ^ {2}$ , þá er jaðarhagkvæmni góðs 2 $6x_{2}$ ${\ displaystyle 6x_ {2}}$ $6x_ {2}$ . Strangt einhæf jákvæð umbreyting á gagnsemi $v=3\cdot u(x_{1},x_{2})=3x_{1}+9x_{2}^{2}$ ${\ displaystyle v = 3 \ cdot u (x_ {1}, x_ {2}) = 3x_ {1} + 9x_ {2} ^ {2}}$ $v = 3 \ cdot u (x_ {1}, x_ {2}) = 3x_ {1} + 9x_ {2} ^ {2}$ Hins vegar leiðir þetta til þess að jaðarhagkvæmni góðra 2 birtist nú $18x_{2}$ ${\ displaystyle 18x_ {2}}$ $18x_ {2}$ fjárhæðir - það er einnig þrefaldað, sem gerir það ljóst að hægt er að umbreyta jaðargildum að vild. Hins vegar kemur í ljós að öfugt við þetta er hægt að túlka sambandið milli jaðarhagkvæmni ýmissa vara mjög vel eins og eftirfarandi kafli sýnir.

Myndskreyting á fyrsta lögum Gossen. Vörumagnið er teiknað á lárétta ásinn og gagnsemi á lóðrétta ásnum (gagnsemi í tilfelli einnar vöru).

Í sumum forritum er talið að jaðargagn vöru sé yfirleitt að minnka í magni; Hermann Heinrich Gossen fullyrti þegar innan ramma gagnsemiskenningar sinnar að viðbótarnýtni frekari eininga af vöru minnki því fleiri einingar sem maður hefur þegar af hinu góða ( fyrst lögmál Gossen ). Hins vegar verður að taka tillit til þess að forsendan er ekki í samræmi við venjulega nytjakenningu eins og hún var byggð á fjárhagsáætlunarkenningunni hér að ofan. Þetta er vegna þess að gagnsemi gildanna skipta engu máli - sú staðreynd að þau eru gagnsemi $u_{1}$ ${\ displaystyle u_ {1}}$ $u_ {1}$ með $u_{1}(1,1)=1$ ${\ displaystyle u_ {1} (1,1) = 1}$ $u_ {1} (1,1) = 1$ og $u_{1}(1,2)=2$ ${\ displaystyle u_ {1} (1,2) = 2}$ $u_ {1} (1,2) = 2$ jafngildir $u_{2}$ ${\ displaystyle u_ {2}}$ $u_ {2}$ með $u_{2}(1,1)=1$ ${\ displaystyle u_ {2} (1,1) = 1}$ $u_ {2} (1,1) = 1$ eða. $u_{2}(1,2)=100$ ${\ displaystyle u_ {2} (1,2) = 100}$ $u_ {2} (1,2) = 100$ sýnir hins vegar að samsvarandi leyfilegar breytingar á gagnsemi virka geta haft veruleg áhrif á breytingu á jaðarhagkvæmni, en af því leiðir að vaxandi eða minnkandi stafur þegar beitt er venjulegu hugtaki býður ekki upp á túlkunarmöguleika.

Önnur algeng forsenda er stranglega jákvæð jaðargagn, þ.e. hver eining af vöru til viðbótar býr til viðbótar gagnsemi. Í grundvallaratriðum kenningarinnar samsvarar þessi forsenda forsendunni um strangt einhæfni heimilishagkvæmni, en samkvæmt henni er stranglega valið búnt af vörum í hverju umhverfi vöruflokks þar sem jafn mikið er af öllum vörum sem eftir eru. , en fleiri af að minnsta kosti einni góðri.

Jafngildisferill

Í tilfellinu tveggja vöru er algilt gildi halla á skeytingarferli einnig nefnt jaðarhlutfall skiptingar $(GRS)$ ${\ displaystyle (GRS)}$ ${\ displaystyle (GRS)}$ . Það er

{\mathit {GRS}}_{1,2}(x_{1},x_{2})\equiv |f'(x_{1})|=-f'(x_{1})={\frac {\partial u(x_{1},x_{2})/\partial x_{1}}{\partial u(x_{1},x_{2})/\partial x_{2}}}

{\ displaystyle {\ mathit {GRS}} _ {1,2} (x_ {1}, x_ {2}) \ equiv | f '(x_ {1}) | = -f' (x_ {1})) = {\ frac {\ að hluta u (x_ {1}, x_ {2}) / \ að hluta x_ {1}} {\ að hluta u (x_ {1}, x_ {2}) / \ að hluta x_ {2}}} }

{\ mathit {GRS}} _ {{1,2}} (x _ {{1}}, x _ {{2}}) \ equiv | f '(x_ {1}) | = -f' (x_ {1}) = {\ frac {\ að hluta u (x _ {{1}}, x _ {{2}}) / \ að hluta x _ {{1}}} {\ að hluta u (x _ {{1 }}, x _ {{2}}) / \ að hluta x _ {{2}}}}

(lesið: jaðarsetuhlutfall góðs 1 með tilliti til góðs 2), þ.e. einmitt hlutfall jaðarhagkvæmni.

Þetta má sýna á eftirfarandi hátt: Þarna $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ í $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_ {1}$ fellur er $f'(\cdot )<0$ ${\ displaystyle f '(\ cdot) <0}$ $f '(\ cdot) <0$ og þar með líka $|f'(x_{1})|=-f'(x_{1})$ ${\ displaystyle | f '(x_ {1}) | = -f' (x_ {1})}}$ $| f '(x _ {{1}}) | = -f' (x _ {{1}})$ sem skýrir næstsíðustu jöfnu. Eftirfarandi á einnig við um búnt af vörum $\mathbf {x} =(x_{1},x_{2})$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, x_ {2})}$ ${\ mathbf {x}} = (x_ {1}, x_ {2})$ að afskiptaleysi ferill í $(x_{1},x_{2})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2})}}$ $(x_ {1}, x_ {2})$ -Stig þannig að þú getur skrifað það niður beint sem fall fyrir $x_{2}=f(x_{1})$ ${\ displaystyle x_ {2} = f (x_ {1})}$ $x_ {2} = f (x_ {1})$ . Þetta þýðir að hægt er að nota búntinn sem $(x_{1},f(x_{1}))$ ${\ displaystyle (x_ {1}, f (x_ {1}))}}$ $(x_ {1}, f (x_ {1}))$ og samkvæmt skilgreiningunni á skeytingarferlinu gildir það $u(x_{1},f(x_{1}))={\overline {u}}$ ${\ displaystyle u (x_ {1}, f (x_ {1})) = {\ yfirlínur {u}}}$ $u (x_ {1}, f (x_ {1})) = \ yfirlínur {u}$ (fastur). Afleiðingin af $u(\cdot )$ ${\ displaystyle u (\ cdot)}$ $u (\ cdot)$ með vísan til $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_ {1}$ er nú framar

{\frac {\partial u(x_{1},x_{2})}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u(x_{1},x_{2})}{\partial x_{2}}}f'(x_{1})=0

{\ displaystyle {\ frac {\ að hluta u (x_ {1}, x_ {2})} {\ að hluta x_ {1}}} + {\ frac {\ að hluta u (x_ {1}, x_ {2}) } {\ að hluta x_ {2}}} f '(x_ {1}) = 0}

{\ frac {\ að hluta u (x _ {{1}}, x _ {{2}})} {\ að hluta x _ {{1}}}} + {\ frac {\ að hluta u (x _ {{ 1}}, x _ {{2}})} {\ að hluta x _ {{2}}}} f '(x _ {{1}}) = 0

(það samsvarar $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ vegna ${\overline {u}}=\mathrm {const.}$ ${\ displaystyle {\ overline {u}} = \ mathrm {const.}}$ ${\ displaystyle {\ overline {u}} = \ mathrm {const.}}$ ) hvað ásamt ${\mathit {GRS}}=-f'(x_{1})$ ${\ displaystyle {\ mathit {GRS}} = - f '(x_ {1})}$ ${\ mathit {GRS}} = - f '(x_ {1})$ leiðir nákvæmlega til skráðrar jöfnu GRS - sem átti að sýna. ^[4]

GRS gefur til kynna skiptihlutfallið sem heimili er tilbúið að skipta jaðareiningu góðri 2 fyrir eina af góðri 1. Þessi skiptihlutfall skiptir engu um jákvæða, einróma einhæfa umbreytingu. Hugtakið er einnig hægt að nota fyrir meiri fjölda vara og síðan í samræmi við allar vörur $a, b$ ${\ displaystyle a, b}$ $í burtu$ :

{\mathit {GRS}}_{a,b}(\mathbf {x} )={\frac {\partial u(\mathbf {x} )/\partial x_{a}}{\partial u(\mathbf {x} )/\partial x_{b}}}

{\ displaystyle {\ mathit {GRS}} _ {a, b} (\ mathbf {x}) = {\ frac {\ part u (\ mathbf {x}) / \ part x_ {a}} {\ part u (\ mathbf {x}) / \ að hluta x_ {b}}}}

{\ mathit {GRS}} _ {{a, b}} ({\ mathbf {x}}) = {\ frac {\ part u ({\ mathbf {x}}) / \ part x _ {{a} }} {\ að hluta u ({\ mathbf {x}}) / \ að hluta x _ {{b}}}}

.

Yfirleitt er gert ráð fyrir að MRS falli stranglega einhæft, sem jafngildir fullyrðingu um að skeytingarleysi sé kúpt og samsvari einnig beint við kúptar forsendu um óskir í kjör-fræðilegum grunni. Í innsýn, í tvívöru tilfellinu, þýðir þetta að ef þú notar ekki jaðareiningu á góðu 2, þá verður þú að fá bætt með fleiri einingum af góðu 1, því minna sem þú hefur af góðu 2.

Dæmi um notagildi

Cobb-Douglas og CES gagnsemi virka

Cobb-Douglas gagnsemi er venjulega gagnsemi af forminu

u(\mathbf {x} )=\beta \cdot \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha _{i}}=\beta \cdot x_{1}^{\alpha _{1}}\cdot \dotsc \cdot x_{n}^{\alpha _{n}}

{\ displaystyle u (\ mathbf {x}) = \ beta \ cdot \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {\ alpha _ {i}} = \ beta \ cdot x_ {1} ^ {\ alfa _ {1}} \ cdot \ dotsc \ cdot x_ {n} ^ {\ alfa _ {n}}}

{\ displaystyle u (\ mathbf {x}) = \ beta \ cdot \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {\ alpha _ {i}} = \ beta \ cdot x_ {1} ^ {\ alfa _ {1}} \ cdot \ dotsc \ cdot x_ {n} ^ {\ alfa _ {n}}}

með $\beta >0$ ${\ displaystyle \ beta> 0}$ $\ beta> 0$ ; $x_{i}>0$ ${\ displaystyle x_ {i}> 0}$ ${\ displaystyle x_ {i}> 0}$ og $\alpha _{i}>0$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i}> 0}$ $\ alfa _ {i}> 0$ fyrir alla $i=1,\dotsc ,n$ ${\ displaystyle i = 1, \ dotsc, n}$ $i = 1, \ dotsc, n$ . Í einfölduðum skilmálum, hins vegar, í tveggja vöru tilfellinu gerir maður oft ráð fyrir því $\beta =1$ ${\ displaystyle \ beta = 1}$ $\ beta = 1$ og að veldisvísarnir bætast við einum, sem tryggir stöðuga ávöxtun á mælikvarða :

u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{\alpha }\cdot x_{2}^{1-\alpha }

{\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} ^ {\ alpha} \ cdot x_ {2} ^ {1- \ alpha}}

{\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} ^ {\ alpha} \ cdot x_ {2} ^ {1- \ alpha}}

með

\alpha \in (0,1)

{\ displaystyle \ alpha \ in (0,1)}

\ alfa \ in (0,1)

.

Cobb-Douglas gagnsemi er algengur undirflokkur almennrar CES gagnsemi

u(\mathbf {x} )=\beta \cdot \left[\alpha _{1}x_{1}^{-\rho }+\alpha _{2}x_{2}^{-\rho }+\dotsc +\alpha _{n}x_{n}^{-\rho }\right]^{-\gamma /\rho }

{\ displaystyle u (\ mathbf {x}) = \ beta \ cdot \ left [\ alpha _ {1} x_ {1} ^ {- \ rho} + \ alpha _ {2} x_ {2} ^ {- \ rho} + \ dotsc + \ alpha _ {n} x_ {n} ^ {- \ rho} \ right] ^ {- \ gamma / \ rho}}

{\ displaystyle u (\ mathbf {x}) = \ beta \ cdot \ left [\ alpha _ {1} x_ {1} ^ {- \ rho} + \ alpha _ {2} x_ {2} ^ {- \ rho} + \ dotsc + \ alpha _ {n} x_ {n} ^ {- \ rho} \ right] ^ {- \ gamma / \ rho}}

með $\beta ,\gamma >0$ ${\ displaystyle \ beta, \ gamma> 0}$ $\ beta, \ gamma> 0$ ; $x_{i}>0$ ${\ displaystyle x_ {i}> 0}$ ${\ displaystyle x_ {i}> 0}$ og $\alpha _{i}>0$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i}> 0}$ $\ alfa _ {i}> 0$ fyrir alla $i=1,\dotsc ,n$ ${\ displaystyle i = 1, \ dotsc, n}$ $i = 1, \ dotsc, n$ sem $\rho \neq 0$ ${\ displaystyle \ rho \ neq 0}$ $\ rho \ neq0$ . Þú kemur saman fyrir $\rho \rightarrow 0$ ${\ displaystyle \ rho \ rightarrow 0}$ $\ rho \ rightarrow 0$ sérstaklega gegn Cobb-Douglas virka.

Kvasi-línuleg gagnsemi

Gagnsemi er hálf línuleg ef hún hefur formið $u(\mathbf {x} )=x_{1}+v(x_{2},\ldots ,x_{n})$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x}) = x_ {1} + v (x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}$ $u ({\ mathbf {x}}) = x_ {1} + v (x_ {2}, \ ldots, x_ {n})$ á, hvar $v(\cdot )$ ${\ displaystyle v (\ cdot)}$ $v (\ cdot)$ er aftur gagnsemi. Í einfaldasta tilfellinu er það $\mathbf {x} =(x_{1},x_{2})$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, x_ {2})}$ ${\ mathbf {x}} = (x_ {1}, x_ {2})$ og í samræmi við það $u(x_{1},x_{2})=x_{1}+v(x_{2})$ ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} + v (x_ {2})}$ $u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} + v (x_ {2})$ . Fallið er hálflínulegt í $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_ {1}$ , það er, það er „að hluta línulegt“. Í tilfellinu tveggja vöru eru afskiptaleysi línur frábrugðnar myndrænni frá hálflínulegum gagnsemi aðeins hvað varðar hæð lóðrétts áreksturs. Fyrir tiltekið sett af góðri 1 hafa allar skeytingarferlar sömu halla. Þegar um er að ræða hálflínulegar óskir, þá eru engin staðbundin tekjuáhrif svo framarlega sem tekjurnar m séu nógu stórar, það er að breyting á eftirspurn vegna breytinga á verði á vöru er algjörlega vegna skiptingarinnar áhrif.

Takmarkað notagildi

Ef um takmarkaða gagnsemi er að ræða eru þættirnir í ákveðnu notkunarhlutfalli, þ.e. gagnsemi eykst aðeins ef báðir þættir eru notaðir oftar. Oft notað takmarkað notagildi er Leontief framleiðsluaðgerðin .

Intertemporale Nutzenfunktion

Eine intertemporale Nutzenfunktion bildet Präferenzen über Konsumalternativen ab, die zu verschiedenen Zeitpunkten zur Verfügung stehen. Mit ihr kann unter anderem erklärt werden, warum und in welcher Höhe Menschen sparen oder Kredite aufnehmen.

In Einklang mit empirisch beobachtbarem Verhalten geht man bei intertemporalen Präferenzen oft davon aus, dass Individuen einen zeitnäheren Konsum gegenüber einem zeitfernerer Konsum in gleicher Höhe vorziehen; man spricht hier von einer positiven Zeitpräferenz . In Nutzenfunktionen wird diese positive Zeitpräferenz häufig durch Diskontfaktoren abgebildet, wobei man vereinfachend oft von einer konstanten Zeitpräferenzrate auch bei Einkommensveränderungen ausgeht.

Beispielsweise wird in Overlapping-Generations-Modellen gewöhnlich davon ausgegangen, dass Individuen genau zwei Perioden leben: In der ersten Periode haben sie ein Einkommen $\omega _{t}^{1}$ $\omega _{t}^{1}$ $\omega _{t}^{1}$ , das sie konsumieren oder sparen können. In der zweiten Periode leben sie dann von ihren (verzinsten) Ersparnissen sowie einer zusätzlichen kleineren Ausstattung (beispielsweise einem staatlichen Zuschuss). Die Individuen maximieren dann den Nutzen über den gesamten Konsum während ihres Lebens, das heißt, sie maximieren eine intertemporale Nutzenfunktion

U^{t}\left(c_{t}^{1},c_{t}^{2}\right)

U^{t}\left(c_{t}^{1},c_{t}^{2}\right)

U^{{t}}\left(c_{{t}}^{{1}},c_{{t}}^{{2}}\right)

,

wobei im skizzierten Beispiel stark vereinfachend und in Abwesenheit von Transfersystemen $c_{t}^{1}=\omega _{t}^{1}-s_{t}$ $c_{t}^{1}=\omega _{t}^{1}-s_{t}$ $c_{{t}}^{{1}}=\omega _{{t}}^{{1}}-s_{{t}}$ und $c_{t}^{2}=\left(1+r_{t+1}\right)s_{t}+\omega _{t}^{2}$ $c_{t}^{2}=\left(1+r_{t+1}\right)s_{t}+\omega _{t}^{2}$ $c_{{t}}^{{2}}=\left(1+r_{{t+1}}\right)s_{{t}}+\omega _{{t}}^{{2}}$ ( $c_{t}^{1}$ $c_{t}^{1}$ $c_{{t}}^{{1}}$ ist der Konsum eines in $t$ ${\displaystyle t}$ $t$ geborenen Individuums in Periode $t$ ${\displaystyle t}$ $t$ , $c_{t}^{2}$ $c_{t}^{2}$ $c_{{t}}^{{2}}$ ist der Konsum eines in $t$ ${\displaystyle t}$ $t$ geborenen Individuums in Periode $t+1$ ${\displaystyle t+1}$ $t+1$ (dh eben seinem zweiten Lebensabschnitt), $r_{t+1}$ $r_{t+1}$ $r_{{t+1}}$ ist der Zinssatz auf die Ersparnisse $s_{t}$ $s_{t}$ $s_t$ zwischen der Periode $t$ ${\displaystyle t}$ $t$ und $t+1$ ${\displaystyle t+1}$ $t+1$ ).

Die Zeitpräferenzrate eines Wirtschaftssubjektes ist die private Zeitpräferenzrate , während die einer Gesellschaft als soziale Zeitpräferenzrate bezeichnet wird. Das Konzept der Indifferenzkurve lässt sich analog anwenden.

Von-Neumann-Morgenstern-Erwartungsnutzenfunktion

Entscheidungen unter Unsicherheit werden mikroökonomisch oft als Lotterie modelliert . Der Nutzen der Wahl einer Alternative ist hier nicht unmittelbar bekannt. Statt einer Nutzenfunktion wird daher eine Erwartungsnutzenfunktion (auch VNM-Nutzenfunktion ) für die Modellierung der Präferenzen des Akteurs eingesetzt.

Dabei wird der Erwartungswert über eine (typischerweise eindimensionale) Nutzenfunktion für die einzelnen Alternativen als Nutzenwert definiert. Die Nutzenfunktion der jeweiligen Alternativen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmen daher den Nutzen einer Lotterie: Erwartungsnutzen ist einfach der Erwartungswert des Nutzens der Alternativen. Eine solche Nutzenfunktion wird auch als Von-Neumann - Morgenstern -(Erwartungs)-Nutzenfunktion bezeichnet.

V(z)=\operatorname {E} [u(z)]=\sum _{i=1}^{N}p_{i}\cdot u(z_{i})

V(z)=\operatorname {E} [u(z)]=\sum _{i=1}^{N}p_{i}\cdot u(z_{i})

V(z)=\operatorname {E} [u(z)]=\sum _{i=1}^{N}p_{i}\cdot u(z_{i})

$V$ ${\displaystyle V}$ $V$ bezeichnet die Erwartungsnutzenfunktion über die Zufallsvariable $z$ ${\displaystyle z}$ $z$ ( $i$ ${\displaystyle i}$ $i$ Zustände, die mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ eintreten) und $u$ ${\displaystyle u}$ $u$ ist die sogenannte Bernoulli-Nutzenfunktion in Abhängigkeit von $z$ ${\displaystyle z}$ $z$ . Die Von-Neumann-Morgenstern-Nutzenfunktion ist somit nichts anderes als der mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Nutzen aus den verschiedenen Zuständen, die aus der Lotterie resultieren können.

Die Existenz einer Erwartungsnutzenfunktion setzt jedoch stärkere Annahmen voraus, insbesondere das umstrittene Unabhängigkeitsaxiom , gemäß dem irrelevante Alternativen keinen Einfluss auf das Ergebnis haben dürfen. Unabhängig von der Zulässigkeit einer Erwartungsnutzenformulierung können ökonomisch Handelnde als risikofreudig , risikoneutral oder risikoscheu eingestuft werden.

Risikoaversion

Nutzenfunktionen in der Erwartungsnutzentheorie unterscheiden sich nach dem in ihnen zum Ausdruck kommenden Grad der Risikoaversion von Individuen. Man bezeichnet ein Individuum als risikoavers, wenn es einer Lotterie mit dem Erwartungswert a ein sicheres Einkommen in Höhe von a vorzieht, beispielsweise also wenn das Individuum den sicheren Betrag von 50 Euro gegenüber einer Lotterie vorzieht, bei der es mit 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit 100 Euro, mit 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit jedoch nur 0 Euro erhält. Man kann zeigen, dass unter üblichen Annahmen ein Individuum genau dann (und nur dann) risikoavers ist, wenn seine Von-Neumann-Morgenstern-Erwartungsnutzenfunktion strikt konkav ist.

Gemäß dem Arrow-Pratt-Maß ergeben sich aus den Nutzenfunktionen folgende Unterklassen:

CRRA : Konstante relative Risikoaversion
IRRA : Ansteigende relative Risikoaversion
DRRA : Abnehmende relative Risikoaversion
IARA : Ansteigende absolute Risikoaversion
DARA : Abnehmende absolute Risikoaversion
CARA : Konstante absolute Risikoaversion

HARA-Nutzenfunktionen

In der Finanzökonomik kommt eine unter dem Begriff HARA (hyperbolic absolute risk aversion) zusammengefasste Klasse von Nutzenfunktionen zur Anwendung.

Die allgemeine Form der HARA-Nutzenfunktion ist

u(c)={\frac {1-\gamma }{\gamma }}\left({\frac {ac}{1-\gamma }}+b\right)^{\gamma }

u(c)={\frac {1-\gamma }{\gamma }}\left({\frac {ac}{1-\gamma }}+b\right)^{\gamma }

u(c)={\frac {1-\gamma }{\gamma }}\left({\frac {ac}{1-\gamma }}+b\right)^{\gamma }

wobei $c$ ${\displaystyle c}$ $c$ die Höhe des Konsums ist. Die Funktion muss ggfs. für den Bernoulli-Fall ( $\gamma =0$ $\gamma =0$ $\gamma =0$ ) und den risikoneutralen Fall ( $\gamma =1$ $\gamma =1$ $\gamma =1$ ) mit der Regel von de l'Hospital stetig vervollständigt werden.

Wenn $a=1$ ${\displaystyle a=1}$ $a=1$ und $b=0$ ${\displaystyle b=0}$ $b=0$ , ergibt sich die isoelastische Nutzenfunktion , die mit der Klasse CRRA identisch ist. Sie wird oft im Konsum-Investment-Problem betrachtet, da dort Bankrott im Modell nicht vorkommen kann, sie empirisch relativ adäquat ist und mathematisch noch relativ einfach zu handhaben ist. (Die Seminal Paper von Merton betrachteten zwar auch andere Fälle, aber die Lösungen waren inkorrekt und beinhalteten negativen Konsum. ^[5] ) Die klassische Bernoulli-log-Nutzenfunktion ist ein Spezialfall der isoelastischen Nutzenfunktion. Es lässt sich beweisen, dass alle CRRA-Nutzenfunktionen zur Klasse HARA gehören.

Auch die exponentielle Nutzenfunktion wird wegen ihrer einfachen analytischen Handhabbarkeit oft verwendet. Sie hat die Form $u(c)=-\exp(-ac)/a$ $u(c)=-\exp(-ac)/a$ $u(c)=-\exp(-ac)/a$ und ergibt sich für $b=1$ ${\displaystyle b=1}$ $b=1$ und $\lambda \to -\infty$ $\lambda \to -\infty$ $\lambda \to -\infty$ . Der Parameter $a$ ${\displaystyle a}$ $a$ bestimmt hier die Risikopräferenz . Sie gehört zur Klasse CARA. Wenn nur die risikoaversen Fälle betrachtet werden sollen, dh $a>0$ ${\displaystyle a>0}$ $a>0$ , lässt sie sich zu $u(c)=-\exp(-ac)$ $u(c)=-\exp(-ac)$ $u(c)=-\exp(-ac)$ vereinfachen.

Indirekte Nutzenfunktion

Im Kontext des Nutzenmaximierungsproblemes, das sich bei der Konstruktion marshallscher Nachfragefunktionen stellt, wird oftmals eine spezielle „Nutzenfunktion“ verwendet, die so genannte indirekte Nutzenfunktion. Sie wird üblicherweise mit $v$ ${\displaystyle v}$ $v$ bezeichnet und ist so konstruiert, dass sie in Abhängigkeit von den Güterpreisen und dem Haushaltsbudget direkt das maximale Nutzenniveau angibt, das sich bei der Lösung des entsprechenden Maximierungsproblems unter Nebenbedingungen ergeben hätte.

Recoverability-Problem

Als Recoverability-Problem bezeichnet man die Fragestellung, aus einer Nutzenfunktion die Präferenzordnung zu bestimmen, die die vorgelegte Nutzenfunktion erzeugt. Dies ist die Umkehrung des Problems, zu einer Präferenzordnung eine Nutzenfunktion mit bestimmten Merkmalen zu finden.

Makroökonomische Nutzentheorie

Im makroökonomischen Zusammenhang finden gesamtwirtschaftliche Nutzenfunktionen Verwendung, um die Vorteilhaftigkeit bestimmter politischer und ökonomischer Entwicklungen für die gesamtwirtschaftliche Entwicklung zu messen.

In der Makroökonomie wird das Konzept ebenfalls genutzt, um die Verhaltensweise wirtschaftspolitischer Akteure zu modellieren. In diesem Kontext werden im Rahmen der Public-Choice-Theorie beispielsweise Nutzenfunktionen für wiederwahlorientierte Politiker erstellt. Demnach werden Politiker diejenige politische Alternative wählen, die ihren Wiederwahlchancen am meisten nützt.

Siehe auch

Prospect Theory

Literatur

Anton Barten und Volker Böhm: Consumer Theory. In: Kenneth J. Arrow and Michael D. Intrilligator (Hrsg.): Handbook of Mathematical Economics. Bd. 2. North Holland, Amsterdam 1982, ISBN 978-0-444-86127-6 , S. 382–429.
Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: Advanced Microeconomic Theory. 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7 .
Andreu Mas-Colell, Michael Whinston und Jerry Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-195-07340-1 .
George J. Stigler : The Development of Utility Theory. I. In: Journal of Political Economy. 58, Nr. 4, 1950, S. 307–327.
George J. Stigler: The Development of Utility Theory. II. In: Journal of Political Economy. 58, Nr. 5, 1950, S. 373–396.
Hal Varian : Intermediate Microeconomics. A Modern Approach. 8. Aufl. WW Norton, New York und London 2010, ISBN 978-0-393-93424-3 .
Susanne Wied-Nebbeling und Helmut Schott: Grundlagen der Mikroökonomik. Springer, Heidelberg ua 2007, ISBN 978-3-540-73868-8 .

Einzelnachweise

↑ Vgl. Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny 2011, S. 17.
↑ Vgl. beispielsweise Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 9.
↑ Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny 2011, S. 17.
↑ Hierzu Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny 2011, S. 18.
↑ S. Sethi: Optimal Consumption and Investment with Bankruptcy , Kluwer (1997).

[1] Vgl. Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny 2011, S. 17.

[2] Vgl. beispielsweise Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 9.

[3] Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny 2011, S. 17.

[4] Hierzu Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny 2011, S. 18.

[5] S. Sethi: Optimal Consumption and Investment with Bankruptcy , Kluwer (1997).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]