Þetta er frábært atriði.

Teningar í leik

frá Wikipedia, ókeypis alfræðiorðabókinni
Fara í siglingar Fara í leit
Klassískir 6 hliða teningar
Fornir rómverskir teningar
Mismunandi teningar með mismunandi fjölda andlita

Teningur , venjulega einfaldlega (eins og upphaflega) teningar (úr althochdeutsch wurfil: tengt rusli og kasti [1] ), er hlutur sem eftir rúllu á láréttu plani greinist með nokkrum stöðugum hvíldarstöðum og í mörgum leikjum til að búa til slembitákn (oft af handahófi ) er notað. Að auki ber teningur tákn, eitt þeirra er í frábærri stöðu eftir kastið. Þetta tákn telst síðan sem afleiðing kastsins.

Langt útbreiddustu teningarnir eru þeir með tölurnar 1 til 6 eða samsvarandi fjölda stiga, augun , merktir teningar eða hexahedra. Í daglegu lífi vísar hugtakið teningur venjulega aðeins til þessara sex hliðar og því var nafnið tekið upp fyrir rúmfræðilega líkamann. Hins vegar eru margir aðrir teningar, einnig lýst hér að neðan. Venjulegir notendur mismunandi gerða teninga nota oft skammstöfunina W eða d (fyrir teninga eða eintölu deyja ), [2] og síðan fjöldi hliðar, þ.e. W6 eða D6 fyrir sexhliða, W10 , W20 , W30 í tíu, tuttugu og þrjátíu hliða teningar.

nota

Kotra Doppler teningar

Í teningaleikjum eru teningar aðalhluti leiksins, aðeins samanburðurinn á teningnum sjálfum eða beintengdar aðferðir telja. Klassískir sexhyrndir teningar eða sérmálaðir, en samt eru tvíhliða teningar venjulega notaðir hér. Margir tilviljunarleikir falla í þennan flokk. Þekkt dæmi í frístundageiranum eru Kniffel eða Ten Thousand , sem hvert um sig hefur mismunandi fjölda punkta sem eru úthlutað ákveðnum augnsamsetningum . Craps og Sic Bo , þar sem veðmál eru sett á niðurstöður einstakra kasta, eru algengar í spilavítum .

Að auki eru teningar mikilvægir í fjölda borðspila , til dæmis til að ákvarða hreyfihraða leikhluta eða niðurstöðu af handahófi. Hér eru líka fyrst og fremst notuð sexhyrningur. Teningar eru notaðir í hlutverkaleikjum , þar sem á síðustu áratugum hefur notkun margra annarra teninga með mismunandi hliðartölum fest sig í sessi til að gera handahófi ákvarðanir sveigjanlegri og fjölbreyttari. Frekar sjaldgæft leik lögmál sem treystir algjörlega á teningnum eins og a leikur efnis er að af sameiginlega teningar leikur , þar sem, hliðstætt viðskipti nafnspjald leikur , verður þú að kaupa fjölda teningar og nota þá hernaðarlega. Þekktur fulltrúi er Dragon Dice .

Á öllum þessum svæðum, til viðbótar við einfalda teningskast, eru einnig tilvik þar sem nokkrir teningar þarf að kasta á sama tíma. Hægt er að bæta niðurstöðunum saman (vopn í hlutverkaleik veldur jafn miklum skaða og tveir teningar sýna saman) eða líta á sem hóp (í mörgum borðspilum fylgja sérstakar aðgerðir þegar nokkrir teningar sýna sömu tölu, í tilfellinu af svokölluðum tvöföldum ). Til þess að auðvelda að kasta nokkrum teningum, til að forðast svindl með köstum eða fela niðurstöðuna fyrir öðrum leikmönnum eru teningabollar (kallaðir þrautabollar ) notaðir. Hágæða eintök hafa svokallaðar varir að innan þannig að teningarnir hoppa alltaf þegar þeir rúlla út. Þetta ætti að gera niðurstöðu kastsins óháð upphaflegri staðsetningu teninganna. Teningaturninn þjónar sama tilgangi. Til að forðast hávær högghljóð og teningana rúlla í burtu er stundum bólstrað borð með brúnum (kallað teningaspjald eða teningaplata ).

Í stað þess að kasta teningunum með þeim, þ.e.a.s. búa til handahófi niðurstöður, er hægt að snúa teningunum að tilteknum gildum og nota þá til að birta þá. Þekktasta dæmið eru Doppler teningar , þar sem stig leiksins er sýnt með kotra . Teningar eru einnig notaðir í teningabúnaðinum .

Almennar eignir

Standard teningur í Unicode
Codepoint persóna
(200%)
tilnefningu
U + 2680 ANDLITIÐ-1
U + 2681 ANDLITIÐ-2
U + 2682 ANDLITI-3
U + 2683 ANDLITIÐ-4
U + 2684 ANDLITIÐ-5
U + 2685 ANDLITIÐ-6
Sjöhliða teningur: Dæmi um mismunandi hliðargerðir og aðeins áætlaða hugsjón
Gegnsætt teningur

Þegar það er notað sem handahófi rafall er venjulega búist við því að teningur hafi jafna dreifingu mögulegra niðurstaðna. Til lengri tíma litið ættu þetta að gerast jafn oft ef gotin eru ekki meðvitað undir áhrifum. Þá er teningurinn kallaður sanngjarn, hugsjón eða raunverulegur teningur eða - eftir Pierre -Simon Laplace , sem rannsakaði jafna dreifingu - Laplace tening. Þegar teningurinn er framleiddur eru alltaf frávik (sjá framleiðslu ) sem gera teninginn síður en svo kjörinn. Fyrir hágæða teninga má þó halda þessu mjög lágu.

Ef maður lítur fram hjá þessum frávikum þá er hugsjónin eign byggingaráætlunar teningsins, þ.e.a.s rúmfræðileg lögun hans. Teikningin er tilvalin ef aðeins er hægt að greina hvíldarstöðu teninga með merkingu vegna samhverfu hans . Teningur er venjulega hannaður samkvæmt kúptum fjölliða . Þetta er tilvalið einmitt þegar yfirborð þess hefur öll sömu lögun og stærð og þegar ekki er hægt að aðgreina tvo fleti með hlutfallslegri stöðu sinni við aðra fleti. Aðeins fimm platónísku föstu efni , katalónísku föstu efni og ákveðnar röskanir á þessum tveimur flokkum, auk snælda og valsa, uppfylla þetta skilyrði. Að auki er litið á þessi form sem sérlega fagurfræðilega vegna samhverfu þeirra.

Aðrar fjölhýsi hafa mismunandi gerðir af mögulegum lendingarflötum, þar af leiðandi geta lendingar líkur þeirra verið mismunandi. Með sumum formum geturðu reynt að bæta fyrir þetta með því að velja rétt hlutföll, til dæmis með því að teygja hliðarflöt aðliggjandi prisma sem sjö hliða tening. Hins vegar, fyrir utan rúmfræði, geta lendingarlíkurnar einnig ráðist af öðrum aðstæðum, til dæmis núningi milli teninga og yfirborðs eða - jafnvel óviljandi - á kastaðferðinni. Ef þú þekkir ekki þessar aðstæður fyrirfram eða ef þær breytast, þá er ómögulegt að fá nákvæmar bætur frá upphafi. Teningur byggður á slíkum líkama getur því í raun aldrei verið hugsjón.

Frekari kröfur eru að teningurinn rúlli vel - en ekki of lengi - og að hvíldarstöðurnar hafi ákveðinn stöðugleika. Þetta takmarkar lögunina enn frekar; til dæmis er erfiðara að smíða teninga með fjölda hvíldarstaða. Oft eru horn og brúnir ávalar til að bæta veltuhegðun og meðhöndlun. Hins vegar er litið illa á þetta í spilavítisleiknum craps, svo og hjá sumum hlutverkaleikurum, þar sem ójafn umferð getur hagað tilteknum lendingarsvæðum.

Stundum er líkindadreifinginni vísvitandi beitt í þágu ákveðinna niðurstaðna, ef unnt er án þess að breyta útliti teningsins, til að ná forskoti í leiknum. Í þessu tilfelli er deyja kölluð merkt . Valkostirnir fela í sér að breyta þyngdardreifingu, ávölum brúnum eða hornum í mismiklum mæli og skökkum fleti. Teningar sem eru of merktir gefa sig undan með yfirþyrmandi veltihreyfingu, sem er ekki áberandi þegar teningabolli er notaður. Annar möguleiki er að setja varanlegan segul inni í teningnum svo hægt sé að kasta teningnum með öðrum segli, sem þú getur t.d. B. heldur undir borðplötunni til að hafa áhrif. Til að gera það erfiðara að tinda eru gagnsæir teningar oft notaðir í spilavítum.

saga

fornöld

Teningur og tetrahedral teningur úr Mohenjodaro
Stone astragalus
Teningur frá miðdýrfrumdögum (um 680 f.Kr.) eftir málarann ​​á hrútkönnunni, Fornleifafræðisafninu í Aþenu
Asískir sögulegir teningar

Meðal elstu teninga sem lifðu af eru tvíhliða stafateningar [3] frá Egyptalandi, teningur með fjórar (misjafnar breiddar) hliðar og tetrahedra frá Sumer, en einnig sexhliða. Snemma fundnir sexhyrndir teningar koma frá Tepe Gawra (norðurhluta Íraks ), snemma á 3. árþúsundi f.Kr. Og Mohenjo-Daro ( Pakistan ), seint á þriðja árþúsundi f.Kr. Chr. [4] Þessar fundir hafa þegar lögun teninga og eru merktar með augum. Fjölmargir sexhliða teningar hafa varðveist frá frekari upphafi sögu og fornöld Austurlanda.

Að auki kemur frá súmeríska borginni Ur a til um 2600 f.Kr. Leikur dagsettur f.Kr., kallaður konunglegur leikur Ur . Teningur var notaður til að ákvarða hreyfisvið. Til viðbótar við leikhlutana voru á leikborðinu fjögurra hliða prik annars vegar og tetraeder hins vegar sem merkt voru í tveimur hornum. Þetta eru elstu teningar sem vitað er um í formi venjulegs fjölliða annars en teningsins. [5]

Í egypska leiknum Senet voru nokkrir hálfhringlaga trépinnar notaðir, sem voru merktir á annarri hliðinni og þannig var hægt að lesa af stöðu þeirra eftir kast. Fyrsta örugga fundin í Senet er grafmálverk frá 2686 f.Kr. Er dagsett. Það eru leikborðsfundir sem eru frá 3500 f.Kr. Og tilheyrir líklega einnig Senet. Þannig er þessi leikur frambjóðandi fyrir fyrstu notkun á teningalíkum hlutum. [6] Að auki voru ökklabein í Egyptalandi notuð sem teningar hjá klaufdýrum eins og sauðfé eða geitum .

Þessi bein, kölluð astragali , voru einnig notuð í grískri og rómverskri menningu. Vegna hyrndar lögunar hafa þeir fjórar mismunandi mögulegar hvíldarstöður, líkurnar á að niðurstöðurnar séu mismunandi. Að auki voru kubikubbar notaðir. Jafnvel fornir höfundar höfðu kenningar um uppfinningu sína, þar á meðal að Plíníus eldri kenndi Palamedes í Trójustríðinu og Heródótus við lýdíska fólkið. [7] Hins vegar er gert ráð fyrir að þeir hafi verið teknir frá Austurlöndum. Til viðbótar við sexhliða teninga með hærri fjölda andlita, þá er einnig að finna 12-, 18-, 20- og 24-hliða teninga. [8] [9] Fjölbreytt efni hefur verið afhent, þar á meðal leir, málmur, fílabein, kristall, bein og gler. Það voru líka teningar með bókstöfum og orðum í stað tölustafa eða augna sem voru notaðir til spádóms eða flókinna teningaleikja.

Bæði teningar og astragali voru notaðir í leiki auk spádóms . Það voru leikir fyrir börn og konur, sumir þeirra voru fimari kastleikir, sumir þeirra voru teningaleikir í nútíma skilningi. Þekktasta dæmið er Astragaloi . Það var bannað að nota teninga og astragali í fjárhættuspil fyrir peninga í Rómaveldi utan Saturnalíu og þótti þungur löstur, en var engu að síður útbreiddur. [10]

Önnur hefð fyrir því að spila teningar var til á Indlandi . Þar sem Vedic tímabil, trúarlega og stofu hafa leiki verið hér, þar sem hnetur af Vibhidaka tré (Terminalia bellerica) voru notuð sem fimm hliða teningar. Síðar (í leiknum Jataka) þróuðust fjögurra hliða prismateningar ( sjá hér að neðan ). [11] Ennfremur má gera ráð fyrir að handahófskennd ákvörðun um að kasta mynt , sem tengist kasti á teningnum, hafi verið stunduð síðan uppfinningin á myntinni sjálfri. Líta má á mynt sem tvíhliða teninga ( sjá hér að neðan ), sem er einnig lögun með langa sögu.

Miðaldir og snemma nútíma

Kotra teningar frá Vasa herskipinu, sem sökk 1628

Eins og í fornöld var sexhyrndi teningurinn greinilega ríkjandi en aðrar hliðartölur héldu áfram að koma af og til: Árið 965 hannaði franski klerkurinn Wibold leik sem notaði fjögurra hliða prismatening og einnig er þekkt miðaldar átta hliða prisma. . [12]

Teningar víkinga voru gerðir úr hvalbeini, horni, beini eða kolum. Oft voru þeir ferhyrndir, 1 og 2 í endunum og 3, 4, 5, 6 á langhliðunum fjórum. Summa andstæðra hliðar tveggja var venjulega ekki 7. Furðulegur teningur kemur frá Dublin. Það hefur lögun venjulegra teninga, en var aðeins merkt með tölunum 3, 4, 4, 5, 5, 6.

Við uppgröft við Crannóg Ballinderry nr. 2 í Offaly -sýslu á Írlandi , fannst Ballinderry Cube árið 1933. Á annarri hliðinni hefur það Ogham táknið með hljóðgildinu V í stað punktanna fimm.

Teningaleikir af ýmsu tagi voru vinsælir í öllum Evrópulöndum og hjá öllum flokkum er minnst á þá í fjölmörgum samtímaverkum. Það voru atvinnuspilarar snemma, [13] árið 1254 skipun Louis IX. sérstök leikhús nefnd í fyrsta skipti. [14] Það eru líka margar skýrslur um merkta teninga. [15] Þrátt fyrir útbreidda samfélagslega útbreiðslu voru tilviljunarleikir með teningum enn álitnir vara og bæði veraldleg og kirkjuleg bann voru notuð gegn þeim. Í frönskum bókmenntum hefur teningurinn verið merktur sem uppfinning djöfulsins. [16] Samkvæmt sáttmála um skatta gyðinga frá 1293 milli Adolfs von Nassau konungs og Gerhards erkibiskups frá Mainz , ætti hins vegar að nota þrjá teninga til að ákvarða lögin í deilumálum. [17] Í sambandi við tolla og skatta gyðinga var svokölluð teningatollur útbreiddur á svæðinu, bæði sem opinber skattur og sem vinsæll áreitni gegn gyðingum meðal almennings.

Nútíma

Áður fyrr voru teningar aðallega notaðir í hreina teningaleiki og aðeins sjaldan, eins og í kotra, sem hluti af annarri tegund leikja, en á 20. öld voru þeir notaðir í vaxandi fjölda stofuleikja . Á fjöldamarkaði var þetta nánast alltaf takmarkað við sexhliða teninga. Önnur form birtust fyrst í stærri mælikvarða með hækkun borðspilanna á sjötta áratugnum. Fyrsti árangursríki penna-og-pappír hlutverkaleikurinn Dungeons & Dragons kom síðan á fót platónískum föstum efnum frá 1974 og frá níunda áratugnum einnig tíuhliða teningnum (decahedron eða fimmhyrndum trapezoid) sem útbreiddar fyrirmyndir. Vegna vaxandi fjölbreytni í hlutverkaleikkerfum og upphafi söfnunar varð til markaður fyrir fjölbreytta teningahönnun á næstu áratugum, sem var tekinn upp í hagkerfinu með stofnun fjölmargra fyrirtækja.

Framleiðsla

Framleiðslubraut á leikvísindatening
Craps nákvæmni teningar, mattir og með beittum brúnum (rakvélarkantur)

Flestir teningarnir eru úr plasti ( ABS ), tré er enn frekar algengt og önnur efni eins og korkur, horn, steinn, málmur eða pappi eru stundum notuð. Algengir teningar hafa um það bil einn og hálfan sentimetra brúnlengd en markaðurinn nær til margs konar stærða. Venjulega er plastteningum hellt og eftir stendur fyllingarstappi sem, ásamt öðrum ójafnvægi, er sléttur út með því að rúlla vél. Merkingarnar eru að mestu leyti lægðir sem litur er fylltur í, sjaldnar prentuð. Strangt til tekið tákna þessar mismunandi vinnsluaðgerðir á hliðunum smá samskeyti, en áhrifin eru lítil og í raun hverfandi.

Það er mikill fjöldi framleiðenda fyrir fjöldamarkaðinn fyrir teninga og borðspil, en það er aðeins lítill fjöldi þekktra framleiðenda um allan heim fyrir framandi hlutverkaleiki. Margar af eftirfarandi teningum eru eingöngu framleiddar af einu þessara fyrirtækja, þar sem sumar byggingar eins og zocchihedron eru jafnvel með einkaleyfi. Meðal þessara fyrirtækja eru Koplow og Chessex Games allsráðandi á fjöldamarkaðnum , Gamescience og Crystal Caste hafa sérhæft sig í fleiri einkaréttar gerðum og sumar þeirra eru mismunandi í framleiðsluferlinu; Gamescience, til dæmis, hafnar því að framleiðslulögin séu tekin upp þar sem þetta er sagt skemma hugsjón teningsins frekar en brautirnar sjálfar. [18]

Framleiðsla á spilavíti teningum, einnig kölluð nákvæmni teningar, er sérstaklega flókin. Fyrir atvinnuspil eru miklar kröfur gerðar til hugsjón teninganna sem notaðir eru. Í þessu skyni er sellulósa asetat notað í stað venjulegs plasts, sem hægt er að framleiða alveg án loftbólur og því hægt að vinna með sérstakri nákvæmni. Teningarnir eru ekki steyptir, heldur áður skornir með demöntum, nú með leysir úr stærri kubbum. Sellulósa asetat hefur skipt út fyrir auðveldlega eldfimt og leysanlegt sellulósa nítrat síðan á sjötta áratugnum. En nútímalegra efnið hefur veikleika: það er viðkvæmt fyrir hitastigi, raka og ljósi og eftir smá stund byrjar það að kristallast og verða brothætt. [19] Auk hærri kostnaðar er þetta ein ástæðan fyrir því að slíkir teningar koma aðeins í spilavítum sem eru notaðir þar sem þeim er oft skipt út, en ekki í einkanotkun, þar sem nýtingartíminn er oft miklu lengri. Þolmörk fyrir lögun spilavíti teninga eru á bilinu 0,0005 [20] eða 0,0002 [21] tommur (0,0127 og 0,00508 mm, í sömu röð).

Til að tefla ekki jafnvægi niðurstaðna teninganna í hættu er aðeins litur með þéttleika teningaefnisins notaður til að fylla augun í spilavítateningum. Það fer eftir leik og spilavíti, brúnirnar og hornin eru beitt (rakvélarkantur) eða ávalar (kúluhornaður) og yfirborðið matt (slípað) eða slípað (fágað) . Með síðari meðferðinni eru teningarnir gagnsæir, sem gerir nokkrar sinkaðferðir (sjá hér að ofan) auðþekkjanlegar. Öryggisaðgerðirnar sem notaðar eru innihalda einnig raðnúmer, merki sem sjást að innan eða húðun sem bregst við UV ljósi . [22]

að móta

Mikilvægasta aðgreiningarviðmið kubba er fjöldi hliðar þeirra og þar með fjöldi talna sem þeir geta myndað tölur úr. Samkvæmt venjulegum hlutverkum leikmanna hugtök W ürfel samsvara fjölda hliðar þess sem n W n hér eftir, venjulega sexhliða teningar svo sem W6. Hugtakið d n frá enskum teningum er útbreitt. Hin fullkomna dálk gefur til kynna hvort, með fullkomlega framleiddri fulltrúa lögunar, myndu allar niðurstöður eiga sér stað með sömu líkum ( sjá hér að ofan ).

Staðlaðir teningar

Eftirfarandi sex teningar hafa þróast undir áhrifum Dungeons & Dragons sem staðalsviðs meðal hlutverkaleikara og eru því lang vinsælustu teningategundirnar. Það eru fimm platónísk föst efni og trapezoid. Öll sex eru tilvalin vegna samhverfra lögunar þeirra.

Gerð lögun tilvalið Viðbótarupplýsingar
W4 Teningur w4.jpg Tetrahedron.svg Tetrahedron Platónískt fast efni samanstendur af fjórum jafnhyrndum þríhyrningum . Með W4 er punktur alltaf ofan á, þannig að ekki er hægt að útfæra venjulegt lestrarferli. Það eru tvö afbrigði af W4: Báðar hafa þrjár tölur á hverju yfirborði, sem eru raðað þannig að teningurinn sýnir sömu útkomu úr hverju horni. Þetta eru annaðhvort á brúnunum eða hornunum. Ef um er að ræða brúnafbrigði, þá telst fjöldinn sem sýndur er á brúnunum með snertingu við jörðina sem deyjaniðurstaðan; í tilfellinu af hornafbrigðinu er fjöldinn í efra horninu. Þar sem D4 rúllar mjög illa er honum venjulega kastað upp eins og myntkasti .
W6 Teningur w6.jpg Hexahedron.svg Hexahedron Platónískt fast efni samanstendur af sex ferningum . The D6 er tegund af teningar sem á sér stað í nánast öllum daglegu leiki og er því oft talin leiknum teningar. Summa talnanna á hvorri tveimur gagnstæðum hliðum er alltaf 7. í venjulegu letri. Breytingar á þessu hafa brúnir sem eru bognar út eða inn [23] .
W8 Teningur w8.jpg Octahedron.svg octahedron Platónískt fast efni samanstendur af átta jafnhliða þríhyrningum. Í venjulegu letri er summan af tölunum á tveimur gagnstæðum hliðum 9.
W10 Teningur w10.jpg Trapezohedron5.jpg fimmhyrnd trapes Líkami sem samanstendur af tíu drekaferningum (sá eini af algengum teningum en ekki platónískt fast efni). Venjulega er það merkt með tölunum 0-9, þar sem 0 er oft túlkað sem 10. Án þessarar endurmats er summan af tölunum á hvorri tveimur gagnstæðum hliðum 9. Það eru sjaldan útgáfur með tölunum 1–10, en í þeim tilfellum verða tölurnar á hvorri gagnstæðri hlið upp á 11. Með mismunandi merkingum verður þessi teningur tíu stafa teningur fyrir W100 notaðan ( sjá hér að neðan ).
W12 Teningur w12.jpg Dodecahedron.svg Dodecahedron Platónískt fast efni samanstendur af tólf venjulegum fimmhyrningum . Í venjulegu letri er summan af tölunum á tveimur gagnstæðum hliðum 13.
W20 Teningur w20.jpg Icosahedron.svg Icosahedron Platónískt fast efni samanstendur af 20 jafnhliða þríhyrningum. Í venjulegu letri er summan af tölunum á tveimur gagnstæðum hliðum 21. Með því að úthluta tölunum 0–9 tvisvar er „platónísk W10“ búin til.

Önnur fjölhýði

Þessir teningar eru í laginu eins og mjög samhverft, en ekki platónískt fjölhýsi. Katalónísk eða Arkimedísk lík eru sérstaklega hentug í þessum tilgangi, þar sem katalónska líkið er talið tilvalið vegna einsleitni lands þeirra, ólíkt Arkimedíska föstu efni.

Gerð lögun tilvalið framleiðanda Viðbótarupplýsingar
W12 D12 rhombic dodecahedron.JPG Rhombicdodecahedron.jpg Rhombic dodecahedron Katalónísk líkami úr 12 samstíguðum rómverum (pastillum)
W14 14 hliða teningar d141.JPG Cuboctahedron.svg Cuboctahedron nei Archimedean fast efni samanstendur af 6 ferningum og 8 jafnhliða þríhyrningum
W24 D24.jpg Tetrakishexahedron.jpg Tetrakis hexahedron Chessex, GameScience, Koplow Katalónskur líkami sem samanstendur af 24 jafna þríhyrningum. Uppbygginguna má ímynda sér sem tening með fjögurra hliða pýramída ágræddum á allar hliðar. Í venjulegu letri er summan af tölunum á tveimur gagnstæðum hliðum 25.
W24 24 hliða teningar d24.jpg Deltoidalicositetrahedron.jpg Deltoidal icositetrahedron Katalónísk líkami úr 24 samhliða deltoids ( drekaferðum )
W26 D18 rhombicuboctahedron.JPG Rhombicuboctahedron.jpg Lítil rómantísk kúbóktaheder nei Archimedean fast efni samanstendur af 8 jafnhliða þríhyrningum og 18 ferningum
W26 D26.jpg Truncatedcuboctahedron.jpg Stór demantur cuboctahedron nei Archimedean fast efni samanstendur af 12 ferningum, 8 venjulegum sexhyrningum og 6 venjulegum áttahyrningum
W30 D30.jpg Rhombictriacontahedron.svg Rhombic triacontahedron GameScience, Koplow Katalónísk líkami gerður úr 30 samstíguðum rombum. Í venjulegu letri er summan af tölunum á tveimur gagnstæðum hliðum 31.
W32 D32 icosidodecahedron.JPG Icosidodecahedron.svg Icosidodecahedron nei Archimedean fast efni samanstendur af 12 reglulegum fimmhyrningum og 20 jafnhliða þríhyrningum
W32 Truncatedicosahedron.jpg Styttur icosahedron nei Archimedean fast efni samanstendur af 12 venjulegum fimmhyrningum og 20 venjulegum sexhyrningum
(„Fótboltalíkami“)
W48 D48 teningar.JPG Disdyakisdodecahedron.jpg Hexakis octahedron Katalónískt fast efni samanstendur af 48 samhliða þríhyrningum
W120 [24] Disdyakistriacontahedron.jpg Disdyakistriakontahedron Dice Lab Katalónískt fast efni samanstendur af 120 samhliða þríhyrningum

Prisma

Prisma - eða dálkar teningar samanstanda af tveimur grunnsvæðum og öllum, venjulega tiltölulega litlum oddatölu hliðarflötum. Ef prismateningur með óvenjumörgum andlitum dettur á annað hliðarandlit hans, bendir ein brúnin upp á við. Þess vegna eru gildin birt hér með lituðum punktum sem liggja yfir hliðarbrúnirnar. Að öðrum kosti er letrið framkvæmt eins og með hefðbundnum W4, þar sem enginn af hliðarflötunum er ofan á í mögulegum hvíldarstöðum.

Prisma teningur með fleiri en tvö fleti er erfitt að framleiða sem hugsjón teninga, þar sem erfitt hlutfall hliðar- og grunnflata fyrir jafnvægi líkindadreifingar er erfitt að reikna út. Leikjavísindi hafa að minnsta kosti ætlað að ná kjörnum W5 og W7 - en almennt er ekki litið á slíkt form sem tilvalið.

Gerð lögun tilvalið framleiðanda Viðbótarupplýsingar
W2 D02.JPG Hólkur ( diskur ) W2 er venjulega ekki raunverulegur teningur, heldur einföld mynt sem er í gríni kölluð það samkvæmt venjulegu nafngiftakerfi. Til viðbótar við hversdagslegar aðstæður þarf 50-50 handahófi ákvarðanir í mörgum leikjum, þannig að sumir teningaframleiðendur framleiða sérmerkta diska til að ljúka sviðinu. Brún W2 táknar eina hliðaryfirborðið og er venjulega vanrækt vegna afar lágra högglíkinda.
W3 D03 tré.jpg Þríhyrningslaga prisma.svg Þríhyrnd prisma (Já) Ýmislegt (fyrir sérstaka borðspil) Þetta form W3 er með tvo merkta efri fleti með óverulegum lendingar líkum. Ef rúllan er endurtekin fyrir slíka niðurstöðu er deyjan enn tilvalin með tilliti til endanlegra niðurstaðna. Rúllulögun (sjá hér að neðan) sniðgengur þennan veikleika.
W5 D05.jpg Þríhyrningslaga prisma.svg Þríhyrnd prisma nei GameScience W5 er ​​þríhyrningslaga súla, en efstu flatirnar eru merktar 1 og 5. Gildin 2–4 er dreift á hliðarflötin og merkt á þröngu brúnirnar. Hinn þekkti W5 frá Gamescience er í raun ekki alvöru prisma teningur, umskipti frá hlið til topps hafa verið skrúfuð til betri hegðunar.
W7 D07.jpg Fimmhyrnd prisma.png Fimmhyrnd prisma nei GameScience W7 er fimmhyrndur dálkur en efstu flatirnar eru merktar 6 og 7. Gildin 1–5 er dreift á hliðarflötin og merkt á brúnirnar.
W9 Heptagonal prisma nei GameScience W9 er dulhyrndur dálkur en efstu flatirnar eru merktar 1 og 9. Gildin 2–8 er dreift yfir hliðarflötin og merkt á brúnirnar. Þar sem slíkir teningar eru sjaldgæfir, er D10 venjulega notað sem lækning; ef 0 kast verður kastað aftur.

Valsar

Það eru tvær mismunandi, en svipaðar, byggingaraðferðir fyrir rúlluteninga: Annars vegar er hægt að nota n-hliða prisma , sem samsvarandi n-hliða pýramída er sett á efstu fletina. Hinn möguleikinn er andstæðingur-prisma (þ.e. til skiptis á móti þríhyrningum sem hliðarflötum) með -hliða pýramýda á efstu flötunum. Í báðum tilvikum tryggja pýramídarnir að hvorki efri yfirborð né pýramída yfirborð geta komið fram vegna þess, þannig að gildunum er aðeins dreift yfir hliðarflötin. Prisma -reglan gerir öllum hliðum kleift , en er sjaldan notað. Ef fjöldi hliðarflata er skrýtinn, þá kemur upp vandamálið að það er engin yfirlagð hlið eftir kast, þetta er hægt að leysa með því að merkja brúnirnar eins og með prisma. Afbrigði gegn prisma er aðeins með jöfnum blaðsíðum mögulegt, það er algengari lögun kúlunnar, aðallega sem valkostur við venjulega teninginn. Með fjórum hliðum er útkoman tetrahedron og efstu yfirborðin hrörna í línur þannig að pýramídunum er sleppt.

Gerð lögun tilvalið framleiðanda Viðbótarupplýsingar
W3 Lengja þríhyrningslaga dipyramid.png Þríhyrnd prisma með áföstum pýramýdum Crystal Caste Vel hægt í þessu formi, en finnst sjaldan.
W4 D04 prism.jpg Lengja ferningur dipyramid.png Kvadratískt prisma með áföstum pýramýdum Ýmislegt
W4 D04 alternate.jpg Disphenoid Dieser W4 stellt eine entartete Sonderform der Antiprisma-Walzen-Konstruktion dar: er besteht zwar aus Dreiecken, die um jeweils 180° versetzt angeordnet sind, besitzt aber statt der aufgesetzten Pyramiden lediglich zwei Kanten.
W6 D06 antiprism.jpg Dreiecksantiprisma mit aufgesetzten Pyramiden Ja Diverse
W7 D07 roll.jpg Abgerundetes Siebenecksprisma Ja In der abgebildeten Form Abrundungen statt Pyramiden, dies ist allgemein eine Alternative.
W8 D08 antiprism.jpg Gyroelongated square dipyramid.png Quadratantiprisma mit aufgesetzten Pyramiden Ja Diverse
W10 D10 antiprism.jpg Icosahedron.svg Fünfecksantiprisma mit aufgesetzten Pyramiden Ja Diverse Die Anordnung der Flächen entspricht dem Ikosaeder (W20), allerdings ist der Mittelteil gestreckt.
W12 D12 antiprism.jpg Sechsecksantiprisma mit aufgesetzten Pyramiden Ja Diverse
W12 D12 prism.jpg Zwölfecksprisma mit aufgesetzter Pyramide Ja Diesem Modell ist nur an einer Seite eine Pyramide aufgesetzt, sodass es eher gekreiselt als gewürfelt werden muss.
W20 D20 antiprism.jpg Zehnecksantiprisma mit aufgesetzten Pyramiden Ja Diverse

Spindeln

Es gibt zwei Klassen von geometrischen Körpern, die optisch Spindeln oder Kreiseln ähneln. Dies sind zum einen die Bipyramiden , die aus zwei mit der Grundfläche zusammengeklebten Pyramiden bestehen, sodass am „Äquator“ jeweils zwei Flächen aufeinandertreffen. Soll die Beschriftung auf den Flächen erfolgen, muss jede der beiden Pyramiden eine gerade Seitenzahl haben, damit eine Fläche oben liegen kann. Damit sind nur Würfel mit 4n Seiten möglich, anders ausgedrückt: jeder Halbkörper muss eine geradzahlige Flächenzahl haben, da sonst eine Kante oben liegen würde. Die andere Sorte sind Trapezoeder , die aus Drachenvierecken bestehen. Diese sind so angeordnet, dass am „Äquator“ jeweils Fläche und Kante aufeinanderstoßen, dieser erhält dadurch einen Zickzack-Verlauf. Für Flächenbeschriftung sind hier – aus demselben Grund wie oben – nur Seitenzahlen 4n+2 möglich.

Durch Kantenbeschriftung sind die jeweils anderen Seitenzahlen möglich, also Bipyramiden mit 2n Seiten, n ungerade, und Trapezoeder mit 2n Seiten, n gerade. In der Praxis werden jedoch nur die Flächenbeschriftungen verwendet. Die Hälften beider Formen wirken bei hohen Seitenzahlen wie angeschnittene Kegel . Neben den unten aufgeführten exotischeren Würfeln gehören auch zwei der Standardwürfel zu dieser Klasse: der W8 ist eine Bipyramide, der W10 ein Trapezoeder. Auch der W6 kann als Trapezoeder aufgefasst werden.

Typ Form Ideal Hersteller Weitere Informationen
W14 D14.jpg 14-seitiges Trapezoeder Ja Chessex, GameScience In dieser Version zusätzlich zweimal mit den Wochentagen beschriftet.
W16 D16.jpg 16-seitige Bipyramide Ja Chessex, GameScience
W34 D34.jpg 34-seitiges Trapezoeder Ja Chessex Der W34 wird als Danish Lottery Die vermarktet und soll tatsächlich in der dänischen Lotterie als Zufallsgenerator verwendet worden sein.
W48 48-seitige Bipyramide Ja
W50 D50 dipyramid2.jpg 50-seitiges Trapezoeder Ja GameScience

Kugeln

Kugelwürfel sind eine sehr ungewöhnliche Konstruktionsweise. Gerade deshalb gilt einer von ihnen, der Zocchihedron-W100, als eine Art Krönung der Rollenspiel- oder (allgemein) exotischen Würfel.

Typ Form Ideal Hersteller Weitere Informationen
W6 Black and red round 6-sided die.jpg Jade.png Kugel Ja Diverse
D06 sphere cut open.jpg

Im Inneren befindet sich ein Hohlraum mit Hexaeder -förmigen Skelett und einer Kugel, die in einer der sechs Mulden zum Liegen kommt. Die Kugel hat damit sechs stabile Zustände. Dieser W6 ist ebenso ideal wie ein normaler Kubus. Je nach Produktionsqualität kann es bei dieser Form zu sehr langen Rolldauern kommen.

W32 D32.jpg Jade.png Kugel Nein Eine Kugel mit 32 Vertiefungen.
W50 D50 sphere.jpg Jade.png Kugel Nein Eine Kugel mit 50 Vertiefungen.
W100 Zocchihedron2.jpg Jade.png Kugel Nein GameScience Wird nach ihrem Erfinder Lou Zocchi auch Zocchihedron genannt. Es handelt sich um eine Doppelkugel. Die äußere Kugel hat 100 Vertiefungen für unterscheidbare Ruhelagen, auf der inneren sind die Werte aufgedruckt und sie enthält Kunststoffschrot für kürzere Rollzeiten.

Sonstige

Neben diesen Familien gibt es einige noch exotischere Modelle, dazu gehören polyederförmige, aber weniger reguläre Körper sowie völlig vereinzelte Konstruktionsprinzipien.

Typ Form Ideal Hersteller Weitere Informationen
W3 D3wiki.JPG Ellipsoid mit drei eingewölbten Flächen Ja GameScience Neben den Zahlen 1–3 mit R, P, S für Rock, Paper, Scissors (englisch für Stein, Papier, Schere ) beschriftet.
W5 Totenkopfwürfel 001.jpg unregelmäßig geformter Körper mit Auflageflächen nein Totenkopfform mit 1–5 Löchern
W6 D06 strange.jpg Rhomboeder ( Parallelepiped ) Ja Wegen des seltsamen Rollverhaltens als Witz-Würfel verkauft.
W6 Chinese human shaped die.jpg In Kubusform eingepasster Mensch Nein Beispiel für eine Vielzahl von Varianten, bei der eine Figur näherungsweise in W6-Form eingepasst wurde.
W10 D10 truncated.jpg Irreguläres Polyeder Nein Körper aus 2 Quadraten und 8 Trapezen, entspricht einem an 2 gegenüber liegenden Ecken abgeschnittenen Oktaeder.
W14 D14 irregular.jpg Irreguläres Polyeder Nein Körper aus 2 regelmäßigen Sechsecken und 12 unregelmäßigen Fünfecken.
W18 Green d18 sided dice.jpg Irreguläres Polyeder Nein GameScience Körper aus 6 Vier- und 12 Sechsecken.
W20 Irreguläres Polyeder Nein GameScience Körper aus 12 Fünfecken, 6 Rhomben und 2 Sechsecken.
W26 Irreguläres Polyeder Nein GameScience Körper aus 2 regelmäßigen Achtecken, 8 Rechtecken und 16 Trapezen .
W? Pig die.jpg Schwein Nein MB-Spiele Ein Gummischwein, das im Spiel Schweinerei als Würfel benutzt wird. Durch mehrere mögliche Schräglagen ein hochgradig nichtidealer, aber durchaus den hier verwendeten Definitionen genügender Würfel.
W1 Gomboc2.jpg Gömböc Ja Eine Extremform des Würfels stellt der Gömböc dar. Es ist ein Körper mit nur einer stabilen Gleichgewichtslage.

Beschriftung

Zahlen und Augen

Würfel sind chiral, die Anordnung der Ziffern ist spiegelbildlich. Das oben abgebildete Netz mit dem zugehörigen Würfel wird fast ausschließlich benutzt. Die Anordnung der Ziffern im unterhalb der – grün markierten – Spiegelebene abgebildeten Netz ist zum obigen Netz chiral, die Würfel sind ebenfalls chiral. Der obere Würfel ist linkswendig, der untere ist rechtswendig, die Wendigkeit (im Beispiel wird von vier über fünf nach sechs gezählt) ist blau markiert. Die beiden Würfel lassen sich nicht zur Deckung bringen.
Japanischer W6

Üblicherweise werden Spielwürfel mit Zahlen beschriftet, da diese das meistens gewollte Zufallsergebnis sind und bei Verwendung mehrerer Würfel Addition und andere Weiterverarbeitung ermöglichen. Statt arabischer Ziffern werden teils, besonders beim W6, runde Markierungen, die Augen, verwendet, die völlig äquivalent zu den Ziffern betrachtet werden können.

Bei den meisten Würfeln, deren Konstruktionsprinzip eindeutige gegenüberliegende Seiten beinhaltet, ist es üblich, die Zahlen so anzuordnen, dass sich je zwei entgegengesetzte Seiten eines n-seitigen Würfels zu addieren. Jedoch gibt es Ausnahmen von dieser Regel. Und auch, wenn sie eingehalten wird, ist dadurch die genaue Anordnung der Zahlen noch nicht eindeutig festgelegt, da es meist mehrere Beschriftungen gibt, die diese Regel erfüllen. Für den W6 sind zum Beispiel zwei Orientierungen möglich, die auch beide schon seit der Antike verwendet werden. [25] Diese beiden Orientierungen der Ziffern im Würfel sind spiegelbildlich (wie die Chiralität in der Chemie und ebenso in der Mathematik). Die Ziffern 6 und 9 sind bis auf Drehung identisch. Bei Würfeln, deren Zahlenbereich beide Ziffern verwendet, wird zur einfacheren Unterscheidung meist ein Merkmal hinzugefügt. Üblich sind ein Punkt an der Seite, die als unten zu lesen ist, oder ein Unterstreichen dieser.

In China und teils in Japan werden die Standard-Augen-W6 etwas anders bemalt als in Europa. Typisch sind ein besonders großes, rotes Auge für die Eins, eine rote Vier und Anordnung der zwei Augen der Zwei nebeneinander statt diagonal. [26]

Andere Aufdrucke

Mathematikwürfel
Riemer-Quader
Würfel mit Symbolen

Ein vielfältiges Feld sind Würfel mit alternativen Beschriftungen. Halbierte Würfel werden verwendet, um unübliche Seitenzahlen mit verbreiteteren Formen zu simulieren, beispielsweise ein W2, der dadurch erzeugt wird, dass ein W4 mit zwei Einsen und zwei Zweien beschriftet ist. Zehnerstellenwürfel sind Varianten des W10, die statt mit 0–9 mit 00–90, 000–900 oder 0000–9000 oder auch Nachkommastellen (gemäß englischer Notation mit Punkt statt Komma) wie .0–.9, .00–.09 und .000–.009 beschriftet sind. Diese werden in Kombination gewürfelt und die Ergebnisse addiert, sodass man Wurfergebnisse mit mehreren Zehnerstellen erhält. Verbreitet ist vor allem die Verwendung eines W10 mit 00–90 und eines mit 0–9 als simulierter W100 (auch W% genannt) oder eines W10 mit 00–90 und eines mit 1–10, bei dem beide Zahlen addiert werden. Dies kann durch zwei verschiedenfarbige W10 mit 0–9, bei denen beispielsweise der rote die Zehnerstelle darstellt, erreicht werden. Zusammengefasste Würfel sind Oktaeder, die die Summe mehrerer Münzwürfe (normalerweise mit 0 und 1) zusammenfassen: Der „W2“ ist je viermal mit der 0 und der 1 beschriftet. Der „2W2“ trägt entsprechend der Wahrscheinlichkeit je zweimal die 0 und 2 und viermal die 1. Der „3W2“ hat je einmal die 0 und 3 und je dreimal die 1 und 2. Theoretisch wären größere Würfel (1x0, 4x1, 6x2, 4x3, 1x4 etc.) möglich, doch die Zahl der notwendigen Flächen wäre 2 n und würde schnell sehr groß werden.

Für manche Spiele werden Würfel mit Symbolen, die nicht für Zahlen stehen, verwendet. In der überwiegenden Anzahl der Fälle sind dies W6. Beispiele sind Würfel für Würfel-Poker , Chuck-a-Luck -Varianten oder diverse moderne Brettspiele . Bei Rollenspielen sind Würfel mit Trefferzonen verbreitet. Statt Symbolen werden teils einfach Farben verwendet. Auch Kombinationen von Zahlen- und Symbolwürfel existieren, bei denen etwa nur eine Zahl für Werbezwecke durch ein Firmenlogo oder in einem Spiel durch ein Symbol eines besonders wichtigen Ereignisses ersetzt ist.

Da es in der menschlichen Kultur viele genau abgezählte Kategorien gibt, bietet es sich an, diese mit passenden Würfeln abzudecken. So existieren W4 mit den vier Grundrechenarten , W8 mit den acht Himmelsrichtungen , W12 mit den Kalendermonaten und ähnliche Produkte.

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsverteilung beim Wurf von 1 bis 5 W6

Als Alltagsgegenstände und leicht zu überblickende Systeme sind Würfel beliebte Beispiele in der Wahrscheinlichkeitsrechnung . Umgekehrt liefert die Wahrscheinlichkeitstheorie wichtige Erkenntnisse für den Einsatz von Würfeln in Spielen.

Der Wurf eines einzelnen idealen Würfels, gleich welcher Seitenzahl n, ist das klassische Beispiel für eine Gleichverteilung : Jedes der möglichen Ergebnisse hat exakt die gleiche Wahrscheinlichkeit; bei langen Spielen ist also gemäß dem Gesetz der großen Zahlen zu erwarten, dass die Häufigkeiten der Zahlen ähnlich werden. Der Erwartungswert eines solchen Wurfes liegt stets bei .

Beim in vielen Spielen verwendeten gleichzeitigen Wurf zweier gleicher Würfel mit Addieren des Ergebnisses nimmt das Wahrscheinlichkeitsdiagramm dagegen die Form eines Dreiecks an, ein Ergebnis ist umso häufiger, je näher es am Mittelwert des Ergebnisbereiches liegt. Nimmt man weitere Würfel hinzu, rundet sich die Kurve ab, die Verteilung nähert sich immer mehr einer Normalverteilung an.

Darüber hinaus verwenden viele Spiele kompliziertere Würfelsysteme, zu denen sich ebenfalls Wahrscheinlichkeitsrechnungen anstellen lassen. Häufige Probleme sind die Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ergebnisklassen (etwa einen Pasch, also zwei gleiche Ergebnisse, beim Monopoly ), das Über- oder Unterschreiten einer bestimmten Schranke durch das Gesamtergebnis (in vielen Rollenspielsystemen, genannt „Überwürfeln“ und „Unterwürfeln“) oder die Risikoabwägung zwischen verschiedenen Verteilungen (wenn man etwa in einem Rollenspiel die Wahl zwischen einer Waffe mit Schadenswurf gemäß 2W10 oder einer mit 1W20 hat).

Ein verblüffender, durch die Wahrscheinlichkeitsrechnung erklärbarer Zaubertrick ist die Würfelschlange .

Die Sicherman-Würfel sind ein Paar von Spielwürfeln, von denen einer mit 1, 2, 2, 3, 3, 4 und der andere mit 1, 3, 4, 5, 6, 8 beschriftet ist. Dies ist die einzige alternative Möglichkeit der Beschriftung mit positiven ganzen Zahlen, so dass jede mit diesem Paar gewürfelte Summe genauso häufig wie bei gewöhnlichen Spielwürfeln auftritt.

Statistisch interessant sind intransitive Würfel . Für jeden dieser unterschiedlich beschrifteten Würfel gibt es einen anderen, der langfristig gegen ihn gewinnt, das heißt, häufiger eine höhere als eine niedrigere Zahl zeigt.

In der Stochastikausbildung an allgemeinbildenden Schulen [27] wie an der Universität [28] werden neben den herkömmlichen Zufallsgeräten aus didaktischen Gründen Riemer-Würfel (Riemer-Quader) benutzt. Es handelt sich um bewusst gezinkte [29] Objekte, um Zufallsgeneratoren zu besitzen, deren Wurfergebnisse nicht als gleich wahrscheinlich anzusehen sind. [30] Dem gleichen Zweck dienen Klemmbausteine. [31]

Andere Zufallsgeneratoren

Ein sechsseitiger spinner
Ein Dreidel

Würfeln ist nicht das einzige Verfahren, das in Spielen zum Erzeugen von Zufallsergebnissen genutzt wird. Eng mit Würfeln verwandt sind die als spinner oder gambling tops bezeichneten Objekte. Sie bestehen aus einem würfelartigen Körper und einer zentralen Achse, an der sie angedreht werden können und sich wie ein Kreisel verhalten, bis sie zur Ruhe kommen und analog wie ein Würfel ein Ergebnis anzeigen. Beispiel hierzu sind der Dreidel und der Nimmgib .

Ein weiterer mechanischer Zufallsgenerator ist das Glücksrad , bei dem sich ein Rad mit Ergebnisbeschriftungen unter einem Zeiger dreht. Es ist möglich, die Zufallsentscheidung direkt von Menschen durchführen zu lassen, etwa durch das blinde Ziehen von Losen oder Spielkarten und das Spielen von Schere, Stein, Papier . Es können auch elektronische Zufallsgeneratoren verwendet werden.

Zitate

Siehe auch

Literatur

Weblinks

Commons : Spielwürfel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Spielwürfel – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

  1. Friedrich Kluge , Alfred Götze : Etymologisches Wörterbuch der deutschen Sprache . 20. Auflage. hrsg. von Walther Mitzka . De Gruyter, Berlin/ New York 1967. (21., unveränderte Auflage. De Gruyter, 1975, ISBN 3-11-005709-3 , S. 869: Wurf , Würfel )
  2. Englische Definition von dice
  3. https://leikmot.net/deutsch/dHunn.html Húnn - Tenningr - Verpill germanische Würfel
  4. Robert Ineichen: Würfel und Wahrscheinlichkeit. 1996, S. 41.
  5. British Museum London, Exponate ANE 120839-40, 1935-1-13, 847; ANE 1930-12-13, 534; 1935-1-13, 848; 1929-10-17,438
  6. Peter A. Piccione: In Search of the Meaning of Senet. In: Archaeology. Juli/August 1980, S. 55–58. Wiedergegeben in der Internetpräsenz des Elliot Avedon Museum & Archive of Games ( Memento vom 18. September 2008 im Internet Archive ).
  7. Robert Ineichen: Würfel und Wahrscheinlichkeit. 1996, S. 43.
  8. Robert Ineichen: Würfel und Wahrscheinlichkeit. 1996, S. 66, 53 f., 65
  9. Twenty-sided die (icosahedron) with faces inscribed with Greek letters – Beispiel eines 20-seitigen Würfels aus Ägypten, 2. Jahrhundert v. Chr. bis 4. Jahrhundert n. Chr., Metropolitan Museum of Art
  10. Robert Ineichen: Würfel und Wahrscheinlichkeit. 1996, S. 49.
  11. Robert Ineichen: Würfel und Wahrscheinlichkeit. 1996, S. 16 f.
  12. Franz Semrau: Würfel und Würfelspiel im alten Frankreich. 1910, S. 25.
  13. Franz Semrau: Würfel und Würfelspiel im alten Frankreich. 1910, S. 7.
  14. Franz Semrau: Würfel und Würfelspiel im alten Frankreich. 1910, S. 11.
  15. Franz Semrau: Würfel und Würfelspiel im alten Frankreich. 1910, S. 30.
  16. Franz Semrau: Würfel und Würfelspiel im alten Frankreich. 1910, S. 24.
  17. Stephan Alexander Würdtwein (Hrsg.): Diplomataria Maguntina. Band I, Mainz 1788, S. 39. ( Digitalisat der Bayerischen Staatsbibliothek München)
  18. AdvancingHordes.com: About GameScience – What does 'Precision Edged™' mean? ( Memento vom 29. April 2008 im Internet Archive ) und How fair are Gamescience Dice? ( Memento vom 29. April 2008 im Internet Archive )
  19. Bob Vollenweider: Casino Dice School – Material ( Memento vom 9. August 2009 im Internet Archive ) auf: diceman.ch
  20. dice-play: Casino Dice. ( Memento vom 27. Januar 2013 im Internet Archive )
  21. Bob Vollenweider: Casino Dice School – Size. ( Memento vom 5. Juli 2010 im Internet Archive ) auf: diceman.ch
  22. Bob Vollenweider: Casino Dice School – Security Features. ( Memento vom 11. Juli 2011 im Internet Archive ) auf: diceman.ch
  23. Wolfgang Schneider: Volkskultur und Alltagsleben. In: Ulrich Wagner (Hrsg.): Geschichte der Stadt Würzburg. 4 Bände, Band I-III/2, Theiss, Stuttgart 2001–2007, Band 1 (2001): Von den Anfängen bis zum Ausbruch des Bauernkriegs. ISBN 3-8062-1465-4 , S. 491–514 und 661–665, hier: S. 504 f. mit Abb. 110 (Mittelalterlicher Beinwürfel).
  24. Alina Schadwinkel: Mehr Würfel geht nicht , 5. Mai 2016.
  25. Robert Ineichen: Würfel und Wahrscheinlichkeit. 1996, S. 42.
  26. Arjan Verweij: Dice from China
  27. W. Riemer: Stochastische Probleme aus elementarer Sicht. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim/ Wien/ Zürich 1991, ISBN 3-411-14791-1 .
  28. A. Büchter, H.-W. Henn: Elementare Stochastik. Springer Verlag, Berlin/ Heidelberg/ New York 2005, S. 143.
  29. W. Riemer: Neue Ideen zur Stochastik. BI Wissenschaftsverlag, Zürich 1985, S. 23, 27, 33.
  30. W. Riemer: Riemer-Würfel. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1988.
  31. Lambacher-Schweizer: Mathematik für Gymnasien Niedersachsen. Ernst Klett Schulbuchverlage, Stuttgart/ Leipzig 2006, S. 137.