kennslufræði

Málþættir (úr forngrísku συλλογισμός syllogismós "[the] addition up ", "rökrétt niðurstaða") eru skrá yfir ákveðnar tegundir af rökréttum ályktunum. Þeir eru kjarninn í hinni fornu rökfræði Aristótelesar , sem kom fram á fjórðu öld f.Kr., og hefðbundinnar rökfræði fram á 19. öld. Sem aðal tækni rökfræðinnar var kennslufræðilegri nálgun aðeins skipt út fyrir samþættingu rökfræði í stærðfræði í kjölfar verka George Boole og Gottlob Frege á 19. og upphafi 20. aldar.

Dæmi um gilda kennslufræði

The kenning syllogisms er almennt vísað til sem syllogistics. Klassísk rökfræði skoðaði sérstaklega skilyrðin þar sem atkvæðagreiðslur gilda . Samnefningar eru alltaf byggðar eftir sama mynstri. Tvær forsendur (forsendur), kallaðar meiriháttar og minniháttar , leiða til niðurstöðu ( niðurstöðu ). Forsendur og niðurstaðan eru fullyrðingar af ákveðinni gerð, þar sem einu hugtaki, kennslufræðilegu viðfangsefninu, er úthlutað eða neitað á ákveðinn hátt, annað hugtak, kenningaforlagið (ekki samheiti við efni og forsetning í málfræði ). Það fer eftir staðnum þar sem þau birtast í kennslufræði, hugtökin sem eiga sér stað heita samheitalyf, millitímabil og undirorð.

saga

Latneska hugtakið syllogism nær aftur til gríska syllogismos (συλλογισμός). Með syllogismos lýsir Aristóteles frádráttarrök , sem hann er sá fyrsti til að skilgreina á eftirfarandi hátt:

"Frádráttur ( syllogismos ) er því röksemd þar sem, ef eitthvað hefur verið sett fram, hlýtur eitthvað annað en það sem er sett fram endilega að koma frá því sem sett er fram."

- Aristóteles : Efni I 1, 100a25-27 ^[1]

Í þessum víðari skilningi, þ.e. sem samheiti yfir orðið „rök“, var orðið „atkvæðagreiðsla“ notað í daglegu máli langt fram á 20. öld. ^[2] Í nútímamáli er þessi víðtæka notkun ekki lengur algeng og er aðeins hægt að finna hana í orðasamböndum eins og tilgátufræðilegri kennslufræði (samheiti yfir ákveðnar ályktanir sem settar eru fram í hefð).

Ruglingslega lýsir kennslufræði nú aðeins sérstöku formi frádráttarrökanna ( syllogismos ), nefnilega frádráttinum sem fjallað er um í fyrstu greiningu Aristótelesar, sem samanstendur af nákvæmlega tveimur forsendum, niðurstöðu og þremur hugtökum. Þar sem skilgreiningin á frádrætti hefur ekki þessa takmörkun, þá er sérhver atkvæðagreiðsla okkur kenningafræði os , en ekki sérhver atkvæðagreiðsla os er kennslufræði okkur .

Samkvæmt stöðu millitímans - það er hugtakið sem kemur aðeins fyrir í forsendunum - greinir Aristóteles á milli þriggja tegunda ályktana, kallaðar tölur (sjá kafla Myndir ). Inngangur fjórðu myndarinnar, sem niðurstöður Aristótelesar viðurkennir þegar sem gildar, ^[3] er kenndur við Avicenna og aðra Galen , þó að það sé engin bein tilvísun í þessa eign í hefðbundnu verki Galen ^[4] og í raun Galen gerir það örugglega tjá það neitar. ^[5] Fram að fjórðu myndinni var komið á framfæri, þá er kennslufræði þeirra oft úthlutað fyrstu myndinni í hefð Theophrastus frá Eresus .

Á latnesku miðöldum, sem upphaflega tóku upp rökrétt verk Aristótelesar úr þýðingum og athugasemdum eftir Boëthius , komu hefðbundnu latnesku hugtökin fyrir magn og gæði dóma (sjá kafla Tegundir staðhæfinga ) í notkun hjá Petrus Hispanus . ^[6] Í fræðilegri kennslu fékk kennslufræðin það form sem var miðlað um aldir í kennslubókum, þó að ekta innihald Aristotelian námskrárinnar hafi glatast síðan í fornöld og það hefur sætt sífellt harðari gagnrýni frá endurreisnartímanum (til dæmis Gagnrýni eftir René Descartes ). Það var aðeins Jan Łukasiewicz sem enduruppgötvaði rökfræði Aristótelesar í byltingarkenndu verki ^[7] og endurreisti það axiomatískt frá sjónarhóli nútíma rökfræði; Hins vegar, vegna mikils fjölda axioma, sem meðal annars er beitt, er efast um að þessi endurbygging reyndist nægilega viðeigandi fyrir viðfangsefnið. ^[8] Łukasiewicz er fylgt eftir með nýlegri rannsóknum, sem fundu staðlað þýskt verk sitt í kynningu Günther Patzig ^[9] (1959).

Síðan þá hefur verið gerður greinarmunur á Aristotelian og hefðbundnum kennslufræði. Mest sláandi Ytri munurinn er að Aristóteles ekki skrifa niður syllogisms sem röð af þremur setningum, en eins og setningu á forminu "Ef (forsenda 1) og (forsenda 2), þannig að nauðsynlegt (niðurstaða)"; það er ágreiningur um hvort þessi samsetning má skýra sem metalinguistic yfirlýsingu um að syllogism í hefðbundnum skilningi ^[10] eða hvort útsýnið af Lukasiewicz er að fylgja sem Aristóteles er varðar syllogism sem samsett yfirlýsingu. Auðvelt er að flytja mælingarnar tvær í hvert annað; Í þessari grein er gefið áþreifanlegt atkvæði í skilningi fyrsta lesturs í samræmi við röð af þremur setningum. Burtséð frá þessu umdeilda atriði er mikill munur á rökréttri merkingarhugsun milli Aristotelian og hefðbundinnar kennslufræði, þannig að í dag er oft haldið því fram að Aristóteles sé í grundvallaratriðum miklu nær nútíma rökfræði en hefðbundnum kennslufræði. Hugmyndin um Aristotelian kennslufræði, útfærð af Patzig meðal annars, sem kenningu um ákveðin tveggja stafa tengsl milli hugtaka og afstæð afurð slíkra samskipta nær aftur til Augustus De Morgan . ^[11] A syllogism er þá vensla vara, sem er sjálfu sér skyldleika í þessa tilteknu formi sem er tjáður á fjórum setninga færir inn, E, I eða O (fyrir A, E, I, O séð tegundir af yfirlýsingar ).

Ógreinanleg jöfnun aristotelískra og hefðbundinna kennslufræði í eldri sagnfræði rökfræði ( Carl Prantl , Heinrich Maier ) hefur aftur á móti valdið fjölmörgum villum - til dæmis um meint frumspekilegar forsendur rökfræði Aristótelesar - þar sem túlkun Aristótelesar var einungis frá fær um að losa sig við erfiðleika.

Almenn fulltrúi

Málfræðileg rök fylgja alltaf sama mynstri. Hver tvö forsenda (skilyrði), kölluð major premise (latneskt propositio major) og stall (latínus propositio minor), leiða til niðurstöðu ( Niðurstaða , latnesk conclusio). Í flokkunarkenningunni (einnig kölluð fullyrðingarkenning ) sem hér er sett fram eru forsendur og niðurstöður flokkunardómar , þ.e.a.s fullyrðingar þar sem hugtaki (grísku ὅρος - horos , latneskur endir ), viðfangsefnið, annað hugtak, forsendan, er úthlutað í ákveðnu leið. eða er rætt. Til dæmis, í flokkadóminum „Allar manneskjur eru dauðlegar“, er viðfangsefninu „manneskja“ úthlutað formálinu „dauðlegt“. Það skal tekið fram - og má sjá í þessu dæmi - að orðin „efni“ og „predikatæki“ eru notuð á annan hátt í samhengi við kennslufræði en í hefðbundinni málfræði , þar sem málfræðifagið er tjáningin „allt fólk“ og málfræðin fyrirsögn - hvert eftir sjónarhorni - orðið "eru" ^[12] eða orðatiltækið "eru dauðleg" ^[13] væri.

Alls eru þrjú mismunandi hugtök notuð innan kennslufræði:

samheitalyfið (latneskt terminus major ), sem kemur fyrir í meirihlutaákvæðinu og hægra megin við niðurstöðuna, þ.e. sem forsögn þess (P);
undirhugtakið (Latin terminus minor ), sem kemur fyrir í undirgreininni og vinstra megin við niðurstöðuna, þ.e. sem viðfangsefni sitt (S); og
miðhugtakið (M) (Latin terminus medius ), sem kemur fyrir í meirihluta og minnihluta, en ekki í niðurstöðunni.

Í framhaldi af Johannes Philoponus hafa hugtökin „ yfirheiti “ og „víkjandi hugtak“ að mestu enga merkingu haft varðandi innihald síðan á 17. öld og þau eru útskýrð eingöngu út frá útliti þeirra í dúr eða moll og sem forspá eða efni niðurstöðu. ^[14] Stundum er einnig vísað til undirhugtaks og samheitalyfs sem viðfangsefni eða formála kennslufræðinnar.

Dæmi um gildan námskrá er:

Enginn rétthyrningur er hringur. Allir ferningar eru ferhyrningar. Þannig að enginn ferningur er hringur.

Millitímabil þessarar kennslufræði er hugtakið „rétthyrningur“; Í aðalákvæðinu í þessari kennslufræði birtist miðhugtakið sem viðfangsefni, í minniháttar setningu þess sem forsögu. Undirhugtak þessa kennslufræði er hugtakið „ferningur“; hann birtist í undirgreininni sem efni. Samheiti yfir þessa kennslufræði er hugtakið „hringur“; það birtist í aðalákvæðinu sem forsögn.

Í staðinn fyrir samsetningar eins og „No S is P“ eða „All S are P“, eru orðatiltæki með sömu merkingu eins og „P tilheyrir ekki neinu S“ og „P samsvarar öllu S“ eru notuð. Í þessari orðalagi lýsir ofangreind námskrá eftirfarandi:

Hringur tilheyrir ekki rétthyrningi. Rétthyrningur samsvarar öllum ferningnum. Þannig að hringur tilheyrir ekki ferningi.

Stafsetningin tvö eru samheiti og hafa sama gildi. Þó að Aristóteles sjálfur í greiningu sinni aðallega velji afbrigði af annarri samsetningunni, þá kemur „P að öllum S“ (aðallega „τὁ P κατηγορεῖται τοῦ S“ - „P er sagt um S“), afbrigði af fyrstu tákninu hafa verið notuð þar sem fræðin var „öll S eru P“, að gefnu vali. Munurinn á málfræði og kennslufræðilegu viðfangsefni eða formáli er augljósari í Aristotelian mótuninni en í hinni hefðbundnu; þannig að í samsetningunni „P kemur til allra S“ er kenningafyrirsögnin, „P“, hlutverk málfræðilega viðfangsefnisins og kennsluefnisgreinarinnar, „S“, hlutverk málfræðiforsendunnar.

Í framhaldinu af Jan Łukasiewicz er hins vegar sú skoðun að Aristotelian atkvæðagreiðslur, öfugt við hefðina sem byggist á honum, séu ekki rök frá tveimur forsendum og einni niðurstöðu, heldur samsettum einstökum setningum. Frá þessu sjónarmiði ætti Aristotelian afbrigðið af dæminu hér að ofan að vera sem hér segir:

Ef enginn rétthyrningur er hringur og allir ferningar eru rétthyrningar, þá er enginn ferningur hringur.

Rétt flokkun Aristotelískra kennsluefna er enn ágreiningsefni. Þar sem umbreytingin á milli lestranna tveggja er einföld og þar sem Aristóteles notar atkvæðagreiðslur sínar sem ályktanir þrátt fyrir mótun sína í „ef-þá“ formi, ^[15] birtir greinin í þessari grein steinsteypuhugmyndafræði í hefðbundinni uppsetningu sinni sem rök sem eru samsett úr þremur fullyrðingum.

Sem frekari þróun á afdráttarlaust eða assertoric syllogistics eru aðkomu að formlegur syllogistics þegar í Aristóteles, þar sem formlegur yfirlýsingar eins og "Allir menn eru hugsanlega dauðlega" eru leyfðar í syllogisms - fyrir utan þennan mismun, sem eru þau sömu .

Rökrétt kerfi sem, líkt og kennslufræði, vinna með fullyrðingar þar sem hugtök eru tengd hvert öðru eru almennt kölluð huglæg rökfræði.

Tegundir fullyrðinga

Yfirlýsing í atkvæðagreiðslu, flokkunardómur , tengir alltaf tvö hugtök. Aðeins fjórar gerðir af dómum varðandi tengsl viðfangsefnis (S) og forsögu (P) koma til greina:

Gerð

tilnefningu

Samsetningar dómsins

Stytting

A.

almennt játandi dómgreind

öll S eru P (og það er örugglega S)

P tilheyrir öllum S.

Kvoða

E.

almennt neikvæð dómgreind

ekkert S er P (og það er í raun S)

P tilheyrir engu S.

SeP

I.

sérstakur játandi dómur

sumir S eru P

P tilheyrir einhverjum S.

SiP

O

sérstakur neikvæður dómur

sumir S eru ekki P

P tilheyrir ekki sumum S.

SoP

Sérhljóðarnir koma frá latnesku orðunum „ a ff i rmo“ (ég fullyrði) og „n e g o “ (ég neita), þar sem fyrsti sérhljómurinn stendur fyrir hershöfðingja, hinn fyrir tiltekinn dóm.

Magn og gæði

Eign fullyrðingar, hversu marga hluti hún talar um, er jafnan kölluð magn þeirrar fullyrðingar. Í þessum skilningi eru tvö stærðir í námskránni, nefnilega (a) sérstakt og (b) algilt eða almennt. Eign fullyrðingar til að úthluta eða afneita viðfangsefni fyrir efni er jafnan kallað gæði þessarar fullyrðingar. Ef fullyrðing úthlutar viðfangsefni tilefni er það kallað játandi fullyrðing, ef það neitar því er það kallað neikvæð fullyrðing. Tegundir fullyrðinga eru sundurliðaðar í eftirfarandi töflu eftir gæðum og magni þeirra:

	játandi	neikvætt
almennt	Dómur	E dómur
sérstakt	Ég dæma	Ó dómur

Rökrétt ferningur

Rökrétti ferningurinn

Miðað við að viðfangsefni þeirra séu ekki tóm hugtök, þá eru mismunandi sambönd milli mismunandi gerða fullyrðinga:

Tvær staðhæfingar mynda mótsagnakennda andstöðu ef og aðeins ef hvort tveggja getur hvorki verið satt né rangt á sama tíma, með öðrum orðum: ef báðir verða að hafa mismunandi sannleikagildi. Þetta er aftur á móti einmitt raunin þegar ein fullyrðingin er neitun hinnar (og öfugt). Að því er varðar kennslufræðilegar fullyrðingar gildir andstæðatengslin fyrir pörin A - O og I - E.
Tvær fullyrðingar mynda andstæða andstöðu ef og aðeins ef þær geta ekki báðar verið sannar á sama tíma, en báðar geta verið rangar. Í námskránni stendur aðeins fullyrðingarparið A - E þvert á móti.
Tvær staðhæfingar mynda undir-andstæðan andstöðu ef og aðeins ef báðar geta ekki verið rangar á sama tíma (en báðar geta verið sannar á sama tíma). Í námskránni er aðeins fullyrðingarparið I-O í undir mótsögn.
Milli gerða fullyrðinga A og I annars vegar og E og O hins vegar er afleiðing (venjulega er þessi niðurstaða kölluð undirbreyting á rökrétta reitnum): Frá A fylgir I, það er að segja ef allir eru SP, þá eru í raun S sem eru P; og E fylgir O, það er að segja ef það eru ekki SP, þá eru örugglega S sem eru ekki P.

Þessi sambönd eru oft dregin saman í kerfi sem kallast „rökrétti torgið“ (sjá mynd). Elsta þekkta ritun hins rökrétta torgs kemur frá annarri öld e.Kr. og er kennd við Apuleius frá Madauros . ^[16]

Tilvistarkröfur

Eins og þegar má sjá á rökréttum torgi gilda mörg hefðbundinna lögmáls námskröfur aðeins að því tilskildu að að minnsta kosti efni umræddra fullyrðinga sé ekki tómt. Almennt er þess vegna gert ráð fyrir því að málfræðilegar fullyrðingar geri í raun tilvistarlegar fullyrðingar um efnið, það er að segja að viðfangsefnið sé ekki tómt hugtak:

Yfirlýsingin „Öll S eru P“ þýðir: „Það eru S, og öll eru þau P“.
Yfirlýsingin „Nei S eru P“ þýðir: „Það eru S, og enginn þeirra er P“.
Yfirlýsingin „Sum S eru P“ þýðir: „Það eru S, og sum þeirra eru P.“
Yfirlýsingin „Sum S eru ekki P“ þýðir: „Það eru S, og sum þeirra eru ekki P.“

Tilvistar fullyrðingin „Það er S“ er venjulega ekki skilin sem hluti af viðkomandi kennslufræðilegum dómi, heldur sem forsenda þess , það er forsenda þess að viðkomandi dómur sé yfirleitt notaður til að kenna rökstuðning. Það er hægt að gera tilvistaryfirlýsinguna að hluta af kennslufræðilegum dómgreind, en formlega er hún tiltölulega flókin og er dæmd á annan hátt með tilliti til fullnægingar hennar. ^[17]

Það fer eftir túlkun á málfræðilegum fullyrðingum og lögum, það er einnig hægt að sjá að kenningar um ályktun eru aðeins mögulegar með ótómum hugtökum, það er að forsendurnar mega heldur ekki vera tómar. ^[18] Spurningin um hvaða höfundar hefðarinnar táknuðu hvaða sjónarmið er dæmt öðruvísi og er enn viðfangsefni heimspekilegra og heimspekilegra rannsókna til þessa dags.

Þrátt fyrir að tilvistarforsendur samsvari náttúrulegri málnotkun (venjulega skynjar maður aðeins almennar fullyrðingar um raunverulega hluti sem eru til sem mikilvægar), þá er mikilvægt að vera meðvitaður um þá, því það eru líka rökrétt kerfi sem gera ekki þessar forsendur.

dreifingu

Í kennslufræði talar maður um dreifingu (frá latínu distributio , dreifingu) hugtaks innan yfirlýsingar. Hugtaki er dreift innan yfirlýsingar ef og aðeins ef önnur fullyrðing leiðir af þessari fullyrðingu, sem leiðir af upphaflegu fullyrðingunni með því að skipta upprunalegu hugtakinu út fyrir raunverulegu undirhugtaki. ^[19] Oft notuð og, ef hún er rétt skilin, jafngild samsetning er svohljóðandi: Hugtaki er dreift innan kennslufræðilegrar setningar ef og aðeins ef það vísar til allra hluta innan yfirlýsingarinnar sem hugtakið á við um.

Til dæmis, í greinargerð A-setningarinnar "Allir heimspekingar (efni) eru fólk (predikat)" dreifist hugtakið "heimspekingur": Af því að allir heimspekingar eru fólk, leiðir að allir tungumálaspekingar (undirhugtök "heimspekingur") Fólk er að allir tilvistarheimspekingar (annað undirhugtök "heimspekings") eru fólk osfrv. Í þessari fullyrðingu er hugtakinu "manneskja" hins vegar ekki dreift: Sú staðreynd að allir heimspekingar eru manneskjur þýðir ekki , til dæmis, að allir heimspekingar séu Evrópubúar (undirhugtak manna).

Eftirfarandi tafla gefur yfirlit yfir hvaða hugtak er dreift í hvaða yfirlýsingu.

	efni	predika
Dómur	dreift	ekki dreift
Ég dæma	ekki dreift	ekki dreift
E dómur	dreift	dreift
Ó dómur	ekki dreift	dreift

Samnefningar frá nútíma sjónarmiði

Það eru mismunandi aðferðir til að samhæfa hefðbundna kennslufræði eða byggja á skýrum reglum.

Hægt er að tákna klassíska atkvæðagreiðsluna á nútímalegan hátt bæði sem beitingu undirkerfis forsögulegrar rökfræði , nefnilega einhliða forsögu rökfræði, og sem sett tengsl. Frá sjónarhóli dagsins í dag er mikilvæg takmörkun sú að kenningafræðin getur aðeins fjallað um magnatölur sem tengjast efni fullyrðingarinnar (eins og í Allir menn eru dauðlegir ), mælitölur í stað hlutarins (eins og í Sókratesi þekkir alla Aþeninga ) er ekki hægt að taka á þessu kerfi. Þetta var aðeins gert mögulegt með því að Frege notaði stærðfræðilegar aðgerðir í rökfræði.

Þegar þau eru sett fram sem sett tengsl, er hvert hugtak túlkað sem umfang þess ( framlenging í tæknilegum skilmálum), þ.e. sem mengi hluta sem falla undir þetta hugtak. Hugtakið „manneskja“ er til dæmis túlkað í leikmyndum sem mengi allra manna.

Í táknrænni túlkun forrita er hvert hugtak táknað sem eins stafa fyrirsögn í skilningi forsetningarrökfræði, þ.e. sem eins stafa fall í stærðfræðilegri merkingu sem hægt er að beita á steinsteypta einstaklinga og sem veitir hverjum einstaklingi upplýsingar um hvort sem það fellur undir þetta hugtak eða ekki. Til dæmis væri hugtakið „mannlegt“ túlkað sem forsögnin „_ er maður“. Ef maður notar þessa fyrirsögn á mann, til dæmis Sókrates, þá skilar hún sannleiksgildinu „satt“; ef þú notar það á hlut sem er ekki mannlegur - til dæmis dýr, plánetu eða tölu - þá gefur það sannleikagildið „ósatt“.

Gerð

dómur

Setningakenning

Spá í rökfræði

A.

Allir S eru P.

S\subseteq P

{\ displaystyle S \ subseteq P}

S \ subseteq P

, þar sem

S\not =\emptyset

{\ displaystyle S \ not = \ emptyset}

S \ not = \ emptyset

Umhverfi S (ekki tómt) er undirmengi jaðar P.

\forall x(Sx\rightarrow Px)

{\ displaystyle \ forall x (Sx \ rightarrow Px)}

\ forall x (Sx \ rightarrow Px)

, þar sem

\exists xSx

{\ displaystyle \ er til xSx}

\ er til xSx

Fyrir hvern einstakling, ef það er S, þá er það líka P (þar sem S er ekki tómt).

E.

Engin S eru P.

S\cap P=\emptyset

{\ displaystyle S \ cap P = \ emptyset}

S \ cap P = \ emptyset

, þar sem

S\not =\emptyset

{\ displaystyle S \ not = \ emptyset}

S \ not = \ emptyset

Gatnamót (utan tóma) jaðar S og jaðar P eru tóm.

\forall x(Sx\rightarrow \neg Px)

{\ displaystyle \ forall x (Sx \ rightarrow \ neg Px)}

\ forall x (Sx \ rightarrow \ neg Px)

, þar sem

\exists xSx

{\ displaystyle \ er til xSx}

\ er til xSx

Fyrir hvern einstakling, ef það er S, þá er það ekki þannig að það er líka P (þar sem S er ekki tómt).

I.

Sumir S eru P.

S\cap P\neq \emptyset

{\ displaystyle S \ cap P \ neq \ emptyset}

S \ cap P \ neq \ emptyset

Skurðpunktur jaðar S og jaðar P er ekki tómur.

\exists x(Sx\wedge Px)

{\ displaystyle \ er til x (Sx \ wedge Px)}

\ er til x (Sx \ wedge Px)

Það er að minnsta kosti einn einstaklingur sem er S og er einnig P.

O

Sumir S eru ekki P.

S\not \subseteq P

{\ displaystyle S \ not \ subseteq P}

S \ not \ subseteq P

(Ekki tómt) gildissvið S er ekki undirmengi gildissviðs P. (Sú staðreynd að S getur ekki verið tóm er þegar gefið óbeint, þar sem tóma mengið er hlutmengi hvers setts.)

\exists x(Sx\wedge \neg Px)

{\ displaystyle \ er til x (Sx \ wedge \ neg Px)}

\ er til x (Sx \ wedge \ neg Px)

Það er að minnsta kosti einn einstaklingur sem er S og sem er það ekki, það er líka P.

Þessi formfesting hefur verið gagnrýnd sögulega og í seinni tíð. Hin hefðbundna rökfræði sem huglæg rökfræði, til dæmis eftir Fritz Mauthner, var í mótsögn við nútíma rökfræði, sem var einnig kallað lítillega flutninga . Eitt af aðalatriðunum var hvort formfesting myndi leiða til þess að forsendur tilveru sem taldar voru sjálfsagðar í fornum nútíma staðbundinni hefð tapaðist. Beinn flutningur á rökrétta torginu er heldur ekki vandræðalaus eins og Michael Wolff hefur sýnt í ritgerð sinni um Frege .

Walther Brüning flokkaði kennslufræði sem stranga kennslufræði sem sérstakt tilfelli af ströngri rökfræði hans og mætir þar með vandamálum klassískrar formgerðar á fornum rökfræði. Hann túlkar dómina sem skammstafanir á svokölluðum gildisgildisformúlum (sjá: Categorical Judgement - Treatment in Strict Logic ) og notar afleiðingarorð sem leyfir öllum atriðum að vera auðveldlega afleidd. Sambærileg nálgun er mismunadagskrá Albert Menne .

Reglur um gildi námskrár

Gild aðferðarorð hafa ákveðna eiginleika með tilliti til gæða, magns og dreifingar hugtaka sem þau innihalda; til dæmis getur námskrá aldrei verið gild ef forsendur hennar eru sérstakar fullyrðingar en niðurstaða hennar er almenn staðhæfing.

Þar sem mismunandi kennsluhættir gilda eftir sérstökum túlkun, þá eru einnig mismunandi reglur í hefðinni. Algengustu reglurnar í dag eru settar fram hér að neðan. ^[20] Þeir fara aftur í þessari einföldu mynd til síðmiðalda og eru ekki hluti af hinum fornu, Aristotelian kennslufræði. ^[21] Reglukerfið sem nefnt er er óþarfi vegna einfaldleika, það er að segja að sumar reglurnar geta tjáð aðrar.

Gæðareglur

Að minnsta kosti ein af tveimur forsendum verður að vera játandi fullyrðing ( latína ex mere negativis nihil sequitur , „ekkert kemur af neikvæðum fullyrðingum einum saman”).
Til dæmis er ekki hægt að draga neinar kennslufræðilegar ályktanir af forsendunum „Enginn fiskur er veiðimaður“ og „Sumir veiðimenn eru ekki fiskar“.
Ef báðar forsendur eru jákvæðar, þá verður niðurstaðan einnig að vera jákvæð (latneskt ambae affirmantes nequeunt generare negantem , "tvær jákvæðar fullyrðingar geta ekki framleitt neikvæða fullyrðingu").
Ef annað hvort forsendunnar er neikvætt, þá verður niðurstaðan einnig að vera neikvæð.

Reglur um magn

Að minnsta kosti ein af forsendunum tveimur verður að vera almenn fullyrðing (latína nihil sequitur geminis ex particularibus unquam , „það kemur aldrei neitt af sérstökum fullyrðingum“).
Frá forsendunum „sum spendýr lifa í vatninu“ og „sum dýr sem lifa á landi eru spendýr“ er heldur ekki hægt að álykta kennslufræðilega.
Ef ein af forsendum tveggja er ákveðin tillaga getur niðurstaðan ekki verið almenn tillaga.

Dreifingarreglur

Miðtímabilið verður að birtast dreift að minnsta kosti einu sinni.
Ef hugtak virðist dreift í niðurstöðunni verður það einnig að birtast dreift í forsendu.

stafir

Hvert af þremur hugtökunum S, P og M verður að koma fram þar sem fullyrðing um kennslufræði er föst: Aðalsetningin samanstendur af P og M, minniháttar ákvæði S og M, niðurstaða S og P. Niðurstaðan hefur alltaf form S - P, fyrirkomulag skilmála í húsnæðinu er hægt að velja frjálslega. Röðin sem forsendurnar eru skrifaðar í skiptir ekki máli fyrir gildi kennslufræðinnar, en síðan Aristóteles hefur fyrst verið minnst á helstu forsendur og síðan minniháttar.

Það fer eftir fyrirkomulagi hugtaka í húsnæðinu og er gerður greinarmunur á fjórum mögulegum tölum (σχἠματα, skýringarmynd ):

	1. mynd	2. mynd	3. mynd	4. mynd
fyrsta forsenda	M - P	P - M.	M - P	P - M.
önnur forsenda	S - M.	S - M.	FRÖKEN	FRÖKEN
Niðurstaða	S - P	S - P	S - P	S - P

Dæmi:

Forsenda 1 (eða stór tillaga ): Allt fólk (M) er dauðlegt (P) .

Forsenda 2 (eða minniháttar ): Allir Grikkir (S) eru fólk (M) .

Niðurstaða (eða niðurstaða ): Þannig að allir Grikkir (S) eru dauðlegir (P) .

Vegna stöðu hugtaka M - P, S - M, S - P viðurkennir maður kennslufræði fyrstu myndarinnar.

Stillingar (samsetningar) og leitarorð þeirra

Þar sem hver af þremur fullyrðingum í námskrá getur verið af einni af fjórum gerðum A, E, O, I, þá er til á mynd $4\times 4\times 4=64$ ${\ displaystyle 4 \ times 4 \ times 4 = 64}$ $4 \ sinnum 4 \ sinnum 4 = 64$ Möguleikar á að sameina fullyrðingar við kennslufræði viðkomandi myndar. Hver þessara möguleika er kallaður hamur (fleirtölu: hamir) eða samsetning viðkomandi myndar. Með samtals fjórum mismunandi myndum eru þær alls fjórar $64\times 4=256$ ${\ displaystyle 64 \ sinnum 4 = 256}$ $64 \ sinnum 4 = 256$ Hugsanlegar samsetningar, þ.e. 256 tegundir kennslufræði. Meðal þessara 256 hátta eru 24 gildir og 232 ógildar kennsluáætlanir.

A ham er lýst með þremur bókstöfum. Fyrstu tveir stafirnir standa fyrir tegundir húsnæðis, þriðji stafurinn fyrir gerð niðurstöðu.

Dæmi:

Forsenda 1 (eða stór setning ): Allar glæpasögur (M) eru spennandi (P) .

Forsenda 2 (eða minniháttar ): Sumar bækur (S) eru glæpasögur (M) .

Niðurstaða (eða lokasetning ): Þannig að sumar bækur (S) eru spennandi (P) .

Forsenda 1 er af gerð A, forsenda 2 af gerð I, niðurstaðan þar af leiðandi einnig af gerð I. Það er því kenningafræði af gerð A-I-I.

Gildu stillingarnar 24 eru jafnan tilgreindar með eftirfarandi leitarorðum:

1. mynd: Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Barbari, Celaront

2. Figur: Baroco, Cesare, Camestres, Festino, Camestrop, Cesaro

3. Figur: Bocardo, Darapti, Datisi, Disamis, Felapton, Ferison

4. Figur: Bamalip, Calemes, Dimatis, Fesapo, Fresison, Calemop

In diesen Merkwörtern bezeichnen die Vokale die Typen der Aussagen in der Reihenfolge Obersatz–Untersatz–Konklusion; zum Beispiel bezeichnet Modus Darii einen Syllogismus der ersten Figur und vom Typ A–I–I. Die Konsonanten geben an, auf welchen Syllogismus der 1. Figur (erster Konsonant) der jeweilige Syllogismus zurückgeführt werden kann und durch welche Veränderung (jeweils auf Vokal folgender Konsonant) diese Zurückführung möglich ist (siehe Abschnitt Reduktion auf die erste Figur ).

Zu beachten ist, dass in der Tradition unterschiedliche Versionen der Merkwörter kursieren. Die ältesten überlieferten Versionen dieser mnemotechnischen Syllogistik stammen von den scholastischen Logikern William of Sherwood ^[22] und Petrus Hispanus ^[23] um 1240/1250, wobei die Priorität unsicher ist.

Die fünf nicht fett gedruckten Modi sind jeweils „schwache“ Folgerungen eines fett gedruckten „starken“ Modus der jeweiligen Figur. „Stark“ bedeutet dabei, dass die Konklusion eine allgemeine Aussage (A oder E) ist; „schwach“ bedeutet, dass die Konklusion eine partikuläre Aussage (I oder O) ist, die eine direkte Folgerung der jeweiligen starken Aussage ist. Es wird davon ausgegangen, dass schwache Modi erstmals 50 v. Chr. von Ariston von Alexandria thematisiert wurden. ^[3]

Beispiele:

Modus Barbara (stark): Alle Münchner sind Bayern, alle Schwabinger sind Münchner, es folgt: Alle Schwabinger sind Bayern.
Modus Barbari (schwach): Alle Münchner sind Bayern, alle Schwabinger sind Münchner, es folgt: Einige Schwabinger sind Bayern.
Modus Celarent (stark): Kein Münchner ist Passauer, alle Schwabinger sind Münchner, es folgt: Kein Schwabinger ist Passauer.
Modus Celaront (schwach): Kein Münchner ist Passauer, alle Schwabinger sind Münchner, es folgt: Einige Schwabinger sind keine Passauer.

Die schwachen Schlussfolgerungen sind logisch gültig, sofern gewisse Zusatzbedingungen erfüllt sind: Jeweils bestimmte Begriffe (Subjekt, Prädikat oder Mittelbegriff) dürfen nicht leer sein (siehe auch Abschnitt Existenzielle Voraussetzungen ).

Reduktion auf die erste Figur

Mit einigen einfachen Umformungen, die in den Konsonanten der traditionellen Merkwörter kodiert sind, lassen sich die Modi aller Figuren auf einen Modus der ersten Figur zurückführen („reduzieren“). Diese Tatsache war bereits Aristoteles bekannt, der auch entsprechende Umformungsregeln formuliert hat und der die erste Figur als die vollkommene, Syllogismen der ersten Figur als vollkommenen Syllogismus (τέλειος συλλογισμός – téleios syllogismós ) bezeichnete.

Der Anfangsbuchstabe des jeweiligen traditionellen Merkwortes gibt an, auf welchen Modus der ersten Figur der jeweilige Modus zurückgeführt werden kann: Modi, deren Name mit „B“ beginnt, lassen sich auf den Modus Barbara zurückführen; Modi, deren Name mit „C“ beginnt, lassen sich auf den Modus Celarent zurückführen; und ebenso lassen sich Modi, deren Name mit „D“ bzw. mit „F“ beginnt, auf den Modus Darii bzw. Ferio zurückführen.

Die Umformungen der Syllogistik sind Schlussregeln im formalen Sinn, dh, das Resultat jeder syllogistischen Umformung einer Aussage bzw. eines Syllogismus folgt aus der umgeformten Aussage bzw. aus dem umgeformten Syllogismus.

Die für die Reduktion erforderlichen Umformungen sind im Folgenden näher beschrieben; zusätzlich wird im Abschnitt Beispiele und Reduktion auf die erste Figur für jeden syllogistischen Modus ein Beispiel genannt und dessen Reduktion auf die erste Figur gezeigt.

Einfache Umwandlung

Bei der einfachen Umwandlung (lat. conversio simplex ) werden Subjekt und Prädikat der jeweiligen Aussage vertauscht; so wird aus der Aussage „Einige Philosophen sind Griechen“ nach der einfachen Umwandlung die Aussage „Einige Griechen sind Philosophen“. In den Merkwörtern wird die einfache Umwandlung einer Aussage durch den Buchstaben „s“ hinter dem der betroffenen Aussage zugeordneten Vokal angezeigt; zum Beispiel muss beim Reduzieren des Modus Ce s are die erste Prämisse, eine E-Aussage, einer einfachen Umwandlung unterzogen werden.

Einfache Umwandlung ist nur bei Aussagen der Typen E und I möglich: Wenn keine Schweine Schafe sind, dann sind auch keine Schafe Schweine (E-Aussage); und wenn einige Griechen Philosophen sind, dann sind auch einige Philosophen Griechen (I-Aussage). Für die A- und O-Aussage ist keine einfache Umwandlung möglich: Wenn alle Philosophen Menschen sind, heißt das nämlich noch lange nicht, dass alle Menschen Philosophen sind (A-Aussage); und wenn einige Menschen keine Politiker sind, heißt das noch lange nicht, dass einige Politiker keine Menschen sind (O-Aussage). Tatsächlich sind unter den traditionellen Merkwörtern nur solche, bei denen das „s“ auf ein „e“ oder „i“ folgt.

Normalerweise wird die einfache Umwandlung auf die jeweilige Prämisse des zu reduzierenden Syllogismus angewendet. Steht das „s“ jedoch am Ende des Merkwortes, dann wird nicht die Konklusion des zu reduzierenden Syllogismus der einfachen Umwandlung unterzogen, sondern die Konklusion jenes Syllogismus der ersten Figur, auf den reduziert werden soll. Ein Beispiel für diesen Sonderfall ist der Modus Dimati s : Er wird auf einen Modus Datisi zurückgeführt, in dessen Konklusion Subjekt und Prädikat vertauscht werden, also auf einen Syllogismus der Form „Alle P sind M. Einige M sind S. Also sind einige P S.“

Umwandlung durch Einschränkung

Bei der Umwandlung durch Einschränkung (lat. conversio per accidens ) wird zusätzlich zur Vertauschung von Subjekt und Prädikat der jeweiligen Aussage ihr Typ von A auf I bzw. von E auf O geändert. So wird zum Beispiel aus der A-Aussage „Alle Schweine sind rosa“ nach der Umwandlung durch Einschränkung die I-Aussage „Einige rosa (Dinge) sind Schweine“ und wird aus der E-Aussage „Keine Schweine sind Schafe“ die O-Aussage „Einige Schafe sind keine Schweine“. In den Merkwörtern wird die Umwandlung durch Einschränkung durch den Buchstaben „p“ hinter dem der betroffenen Aussage zugeordneten Vokal angezeigt.

Auch bei dieser Umwandlung liegt ein Sonderfall vor, wenn das „p“ im Merkwort nach dem dritten Vokal – also am Wortende – steht: In diesem Fall bezieht es sich wie bei der einfachen Umwandlung nicht auf die Konklusion des zu reduzierenden Syllogismus, sondern auf die Konklusion des resultierenden Syllogismus der ersten Figur.

Vertauschung der Prämissen

Vertauschung der Prämissen (lat. mutatio praemissarum ) ist für die Reduktion all jener Modi erforderlich, in deren Merkwörtern der Konsonant „m“ an beliebiger Stelle vorkommt. Unabhängig von der Position des Konsonanten „m“ im jeweiligen Merkwort darf die Vertauschung der Prämissen erst nach jeder allenfalls erforderlichen einfachen Umwandlung und nach jeder allenfalls erforderlichen Umwandlung durch Einschränkung ausgeführt werden.

Indirekter Beweis

Modi, in deren Merkwörtern der Konsonant „c“ vorkommt, aber nicht am Wortanfang steht, – also nur die Modi Baroco und Bocardo – lassen sich nur durch einen indirekten Beweis (lat. reductio ad absurdum ) ^[24] auf die erste Figur zurückführen. Zu diesem Behuf wird die Wahrheit der A-Prämisse des zu reduzierenden Syllogismus (im Fall von Baroco also die erste, im Fall von Bocardo die zweite Prämisse) sowie das kontradiktorische Gegenteil, dh die Negation der Konklusion angenommen. Auf diese Weise entsteht ein Modus Barbara, dessen Konklusion der O-Prämisse des zu reduzierenden Syllogismus widerspricht. Da die Annahme, die Konklusion treffe nicht zu, solcherart zu einem Widerspruch geführt hat, ist gezeigt, dass die Konklusion zutreffen muss.

Im Detail ausgeführt wird der indirekte Beweis in den Abschnitten AOO – Modus Baroco und OAO – Modus Bocardo .

Abweichende Darstellungen

Hinsichtlich der genauen Formulierung der Umwandlungsregeln gibt es bei den einzelnen Autoren Unterschiede; insbesondere ist es üblich, ^[25] auf den hier dargebrachten Sonderfall bei der einfachen Umwandlung und bei der Umwandlung durch Einschränkung zu verzichten und die Konsonanten „s“ und „p“ auch am Wortende auf den umzuwandelnden Syllogismus zu beziehen und nicht – wie hier dargestellt – auf den Ziel-Syllogismus. Diese Formulierung würde aber die Reduktion der beiden Modi „Bamalip“ und „Camestrop“ in der dargestellten Form unmöglich machen, weil weder für eine I-Aussage noch für eine O-Aussage eine Umwandlung durch Einschränkung möglich ist.

Beispiele und Reduktion auf die erste Figur

Zur ersten Figur des kategorischen Syllogismus

Die erste Figur hat folgende Form:

	Obersatz: M – P
	Untersatz: S – M
Es folgt:	Konklusion: S – P

Ihre gültigen Modi sind Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Barbari und Celaront.

AAA – Modus Barbara

Beispiel

	Alle Rechtecke sind Vierecke
	Alle Quadrate sind Rechtecke
Es folgt:	Alle Quadrate sind Vierecke

EAE – Modus Celarent

Beispiel

	Kein Rechteck ist ein Kreis
	Alle Quadrate sind Rechtecke
Es folgt:	Kein Quadrat ist ein Kreis

AII – Modus Darii

Beispiel

	Alle Quadrate sind Rechtecke
	Einige Rhomben sind Quadrate
Es folgt:	Einige Rhomben sind Rechtecke

EIO – Modus Ferio

Beispiel

	Kein Säugetier atmet mit Kiemen
	Einige Wassertiere sind Säugetiere
Es folgt:	Einige Wassertiere atmen nicht mit Kiemen

AAI – Modus Barbari

Beispiel

	Alle Rechtecke sind Vierecke
	Alle Quadrate sind Rechtecke
Es folgt:	Einige Quadrate sind Vierecke

Anmerkung: Barbari ist insofern ein abgeleiteter Modus, als seine Konklusion eine schwächere Folgerung der Konklusion von Modus Barbara ist: Wenn alle Quadrate Rechtecke sind, dann sind insbesondere auch einige Quadrate Rechtecke. Traditionell wird ein durch Abschwächung der Konklusion aus einem anderen Modus abgeleiteter Modus auch als schwacher Modus bezeichnet.

EAO – Modus Celaront

Beispiel

	Kein Rechteck ist ein Kreis
	Alle Quadrate sind Rechtecke
Es folgt:	Einige Quadrate sind keine Kreise

Anmerkung: Die Konklusion von Celaront ist eine Abschwächung der Konklusion von Celarent: Wenn keine Quadrate Kreise sind, dann sind insbesondere auch einige Quadrate keine Kreise. Celaront wird daher traditionell als schwacher Modus bezeichnet.

Zur zweiten Figur des kategorischen Syllogismus und ihrer Reduktion auf die erste Figur

Die zweite Figur hat folgende Form:

	Obersatz: P – M
	Untersatz: S – M
Es folgt:	Konklusion: S – P

Die gültigen Modi der zweiten Figur sind Baroco, Cesare, Camestres, Festino, Camestrop und Cesaro.

AOO – Modus Baroco

Beispiel

	Alle Professoren sind ernst
	Einige Dozenten sind nicht ernst
Es folgt:	Einige Dozenten sind nicht Professoren

Reduktion des Beispiels auf die erste Figur: Der Modus Baroco ist einer von nur zwei Modi, in deren Merkwort der Konsonant „c“ vorkommt, aber nicht am Wortanfang steht. Diese Konstellation zeigt an, dass zur Rückführung auf die erste Figur ein indirekter Beweis erforderlich ist. Für diesen indirekten Beweis wird ein Syllogismus konstruiert, dessen erste Prämisse die A-Prämisse des zu reduzierenden Syllogismus ist – im Beispiel also die Aussage „Alle Professoren sind ernst.“ Als zweite Prämisse des zu konstruierenden Syllogismus wird die kontradiktorische Verneinung der Konklusion des zu reduzierenden Syllogismus verwendet – im Beispiel also die Aussage „Alle Dozenten sind Professoren“ (dieses A-Urteil ist die Verneinung des O-Urteils „Einige Dozenten sind nicht Professoren“, vergleiche Logisches Quadrat ). Da das Merkwort „Baroco“ mit einem „B“ beginnt, werden die so aufgestellten Prämissen zu einem Syllogismus des Modus Barbara ergänzt, der dann vollständig lautet: „Alle Professoren sind ernst. Alle Dozenten sind Professoren. Also sind alle Dozenten ernst.“ Die Schlussfolgerung, dass alle Dozenten ernst sind, ist aber mit der O-Prämisse des zu reduzierenden Syllogismus unverträglich, die gerade lautete „Einige Dozenten sind nicht ernst“. Somit ist gezeigt, dass die Annahme, die Konklusion des zu reduzierenden Syllogismus treffe nicht zu, zu einem Widerspruch führt. Die Konklusion des zu reduzierenden Syllogismus muss daher zutreffen, der zu reduzierende Syllogismus also gültig sein.

EAE – Modus Cesare

Beispiel

	Kein Säugetier atmet durch Kiemen
	Alle Fische atmen durch Kiemen
Es folgt:	Kein Fisch ist ein Säugetier

Reduktion des Beispiels auf die erste Figur: Das Merkwort „Cesare“ beginnt mit einem „C“, der Syllogismus muss sich daher auf einen Modus Celarent zurückführen lassen. Im Merkwort „Cesare“ steht unmittelbar nach dem „e“, das den Typ der ersten Prämisse angibt, der Buchstabe „s“, der die einfache Umwandlung der betroffenen Aussage einfordert. Wandelt man die erste Prämisse einfach um, entsteht die Aussage „Kein Kiemenatmer ist ein Säugetier“. Weitere bedeutungstragende Konsonanten kommen im Merkwort „Cesare“ nicht vor, deshalb ist die Umwandlung damit abgeschlossen. Tatsächlich ist der so entstandene Syllogismus „Kein Kiemenatmer (M) ist ein Säugetier (P). Alle Fische (S) atmen durch Kiemen (M). Also ist kein Fisch (S) ein Säugetier (P).“ ein Syllogismus vom Typ Celarent.

AEE – Modus Camestres

Beispiel

	Alle Fische atmen durch Kiemen
	Kein Säugetier atmet durch Kiemen
Es folgt:	Kein Säugetier ist ein Fisch

Reduktion des Beispiels auf die erste Figur: Der Anfangsbuchstabe „C“ des Merkwortes „Camestres“ zeigt an, dass die Reduktion zu einem Modus Celarent führen muss. Das „s“ nach dem Vokal „e“ der zweiten Prämisse zeigt an, dass jene einer einfachen Umwandlung unterzogen werden muss; dabei entsteht die neue Aussage „Kein Kiemenatmer ist ein Säugetier“. Das „m“ zeigt – ungeachtet seiner konkreten Position – an, dass die Prämissen nach allen anderen allfälligen Umformungen ausgetauscht werden müssen: Es entsteht der Syllogismus „Kein Kiemenatmer ist ein Säugetier. Alle Fische atmen durch Kiemen. Also ist kein Säugetier ein Fisch.“ Am Wortende des Merkwortes Camestres steht ein weiteres „s“, das an dieser Stelle eine einfache Umwandlung der Konklusion des Zielmodus, also des Celarent erfordert – und tatsächlich ist der Syllogismus „Kein Kiemenatmer ist ein Säugetier. Alle Fische atmen durch Kiemen. Also ist kein Säugetier ein Fisch.“ ein Modus Celarent, in dessen Konklusion die Stellung von Subjekt und Prädikat vertauscht ist.

EIO – Modus Festino

Beispiel

	Kein Tier, das mit Kiemen atmet, ist ein Säugetier
	Einige Wassertiere sind Säugetiere
Es folgt:	Einige Wassertiere atmen nicht mit Kiemen

Reduktion des Beispiels auf die erste Figur: Der Anfangsbuchstabe „F“ zeigt an, dass der Syllogismus sich auf einen Modus Ferio zurückführen wird lassen. Der Buchstabe „s“ nach dem ersten Vokal im Merkwort „Festino“ weist darauf hin, dass die erste Prämisse einer einfachen Umwandlung unterzogen werden muss; dabei entsteht die neue Aussage „Kein Säugetier atmet mit Kiemen“. Das Merkwort enthält keine weiteren bedeutungstragenden Konsonanten, und tatsächlich ist der durch diese eine Umwandlung entstandene Syllogismus „Kein Säugetier atmet mit Kiemen. Einige Wassertiere sind Säugetiere. Es folgt: Einige Wassertiere atmen nicht mit Kiemen.“ vom erwarteten Typ Ferio; die Reduktion ist damit erfolgreich abgeschlossen.

Zur dritten Figur des kategorischen Syllogismus und ihrer Reduktion auf die erste Figur

Die dritte Figur hat folgende Form:

	Obersatz: M – P
	Untersatz: M – S
Es folgt:	Konklusion; S – P

Die gültigen Modi der dritten Figur sind Bocardo, Datisi, Disamis, Ferison, Darapti und Felapton.

OAO – Modus Bocardo

Beispiel

	Einige Münchner sind nicht Politiker
	Alle Münchner sind Stadtbewohner
Es folgt:	Einige Stadtbewohner sind nicht Politiker

Reduktion des Beispiels auf die erste Figur: Das Merkwort „Bocardo“ enthält im Wortinneren den Konsonanten „c“, der die Notwendigkeit eines indirekten Beweises anzeigt. Für diesen wird ein neuer Syllogismus gebildet, dessen Prämissen die A-Prämisse des Bocardo – im Beispiel also die Aussage „Alle Münchner sind Stadtbewohner“ – und die Verneinung der Konklusion des Bocardo ist: Verneint man die O-Aussage „Einige Stadtbewohner sind nicht Politiker“, dann entsteht die A-Aussage „Alle Stadtbewohner sind Politiker“. Da das Merkwort „Bocardo“ mit einem „B“ beginnt, ordnet man diese beiden Prämissen so an und ergänzt sie so um eine Konklusion, dass ein Syllogismus der Form Barbara entsteht. Für das Beispiel lautet dieser Syllogismus „Alle Stadtbewohner sind Politiker. Alle Münchner sind Stadtbewohner. Also sind alle Münchner Politiker.“ Die Konklusion, „Alle Münchner sind Politiker“, widerspricht nun gerade der ersten Prämisse des zu reduzierenden Syllogismus, der Aussage „Einige Münchner sind nicht Politiker“; es ist daher gezeigt, dass die Annahme, die Konklusion des Bocardo – also die Aussage „Einige Stadtbewohner sind nicht Politiker“ – sei falsch, zu einem Widerspruch führt – sie muss daher richtig sein.

AII – Modus Datisi

Beispiel

	Alle Rechtecke sind Vierecke
	Einige Rechtecke sind Quadrate
Es folgt:	Einige Vierecke sind Quadrate

Reduktion des Beispiels auf die erste Figur: Das Merkwort „Datisi“ enthält als einzigen bedeutungstragenden Konsonanten den Buchstaben „s“ unmittelbar nach dem Vokalzeichen für die zweite Prämisse; diese muss daher einer einfachen Umwandlung unterzogen werden, dh, ihr Subjekt und ihr Prädikat müssen ausgetauscht werden. Aus dieser Operation entsteht der Syllogismus „Alle Rechtecke sind Vierecke. Einige Quadrate sind Rechtecke. Also sind einige Vierecke Quadrate.“ Dieser Syllogismus ist von der Form Darii, die Reduktion damit abgeschlossen.

IAI – Modus Disamis

Beispiel

	Einige Früchte sind Äpfel
	Alle Früchte sind Pflanzen
Es folgt:	Einige Pflanzen sind Äpfel

Reduktion des Beispiels auf die erste Figur: Das Merkwort „Disamis“ zeigt an, dass für die Reduktion auf einen Modus Darii zwei einfache Umwandlungen (Buchstabe „s“ hinter dem die jeweilige Aussage bezeichnenden Vokal), dh eine Vertauschung von Subjekt und Prädikat, sowie eine Vertauschung der Prämissen (Buchstabe „m“ an beliebiger Stelle) erforderlich sein wird. Einfache Umwandlungen der Prämissen müssen immer vor einer allfälligen Vertauschung ausgeführt werden. „Disamis“ fordert die einfache Umwandlung der ersten Prämisse, dabei entsteht der Satz „Einige Äpfel sind Früchte“. Für die zweite Prämisse fordert das Merkwort „Disamis“ keine Aktion, sodass im nächsten Schritt schon die Vertauschung der Prämissen (Buchstabe „m“) ausgeführt werden kann. Der dabei entstehende Syllogismus lautet „Alle Früchte sind Pflanzen. Einige Äpfel sind Früchte. Also sind einige Pflanzen Äpfel.“ An letzter Stelle – unmittelbar nach dem Vokal, der die Konklusion bezeichnet – enthält das Merkwort „Disamis“ ein weiteres „s“. Die Umwandlung der Konklusion – egal ob einfach oder durch Einschränkung – ist ein Sonderfall, weil hier nicht die Konklusion des zu reduzierenden Syllogismus gemeint ist, sondern die Konklusion des Modus, auf den reduziert werden soll. Das „s“ ist also an dieser Stelle die Anweisung, in der Konklusion von Modus Darii Subjekt und Prädikat auszutauschen, was zu einem Syllogismus der Gestalt „Alle M sind P. Einige S sind M. Also sind einige P S.“ führt. Dieses ist die Gestalt des reduzierten Disamis-Syllogismus: „Alle Früchte (M) sind Pflanzen (P). Einige Äpfel (S) sind Früchte (M). Also sind einige Pflanzen (P) Äpfel (S).“ Damit ist die Reduktion abgeschlossen.

EIO – Modus Ferison

Beispiel

	Keine Münchner sind Passauer
	Einige Münchner sind Studenten
Es folgt:	Einige Studenten sind nicht Passauer

Reduktion des Beispiels auf die erste Figur: Das Merkwort „Ferison“ enthält nur einen bedeutungstragenden Konsonanten, das „s“ unmittelbar nach dem Vokal für die zweite Prämisse. Dies zeigt an, dass die zweite Prämisse einer einfachen Umwandlung unterzogen werden muss, dh einer Vertauschung ihres Subjekts und ihres Prädikats. Der so entstandene Syllogismus, „Keine Münchner sind Passauer. Einige Studenten sind Münchner. Also sind einige Studenten nicht Passauer.“, ist bereits ein Syllogismus der ersten Figur, und zwar – das Merkwort „Ferison“ beginnt mit einem „F“ – vom Typ Ferio.

AAI – Modus Darapti

Beispiel

	Alle Quadrate sind Rechtecke
	Alle Quadrate sind Vierecke
Es folgt:	Einige Vierecke sind Rechtecke

Anmerkung: Der Modus Darapti setzt voraus, dass das Subjekt nicht leer ist, dass es im Beispiel also tatsächlich Quadrate gibt; vergleiche Abschnitt Existenzielle Voraussetzungen .
Reduktion des Beispiels auf die erste Figur: Der Anfangsbuchstabe des Merkwortes „Darapti“ zeigt an, dass sich der Syllogismus auf den Modus Darii reduzieren lassen wird. An bedeutungstragenden Konsonanten enthält das Merkwort „Darapti“ nur das „p“, das eine Umwandlung durch Einschränkung bezeichnet. Das „p“ steht unmittelbar nach dem Vokal der zweiten Prämisse, also ist sie es, die durch Einschränkung umgewandelt werden muss. Bei der Umwandlung durch Einschränkung werden Subjekt und Prädikat des Satzes ausgetauscht und wird die Quantität der Aussage von allgemein auf partikulär geändert, entsteht also aus der Aussage „Alle Quadrate sind Vierecke“ die Aussage „Einige Vierecke sind Quadrate“. Da es keine weiteren bedeutungstragenden Konsonanten im Merkwort „Darapti“ gibt, ist die Reduktion an dieser Stelle abgeschlossen und ist der so entstandene Syllogismus „Alle Quadrate sind Rechtecke. Einige Vierecke sind Quadrate. Also sind einige Vierecke Rechtecke.“ ein Modus Darii.

EAO – Modus Felapton

Beispiel

	Keine Münchner sind Passauer
	Alle Münchner sind Stadtbewohner
Es folgt:	Einige Stadtbewohner sind keine Passauer

Anmerkung: Der Modus Felapton setzt voraus, dass der Mittelbegriff nicht leer ist, dass es im Beispiel also tatsächlich Münchner gibt; vergleiche Abschnitt Existenzielle Voraussetzungen .

Reduktion des Beispiels auf die erste Figur: Modus Felapton wird sich mit einer Umwandlung durch Einschränkung (Buchstabe „p“) auf einen Modus Ferio reduzieren lassen. Das „p“ steht im Merkwort „Felapton“ hinter dem Vokal, der die zweite Prämisse bezeichnet; daher ist sie es, die umgewandelt werden muss. Bei der Umwandlung durch Einschränkung werden Subjekt und Prädikat der betroffenen allgemeinen Aussage ausgetauscht und wird sie zu einer partikulären Aussage umgewandelt: Aus „Alle Münchner sind Stadtbewohner“ wird „Einige Stadtbewohner sind Münchner.“ Der so entstandene Syllogismus „Keine Münchner sind Passauer. Einige Stadtbewohner sind Münchner. Also sind einige Stadtbewohner keine Passauer.“ ist von der Gestalt des Modus Ferio – die Reduktion ist damit abgeschlossen.

Zur vierten Figur des kategorischen Syllogismus und ihrer Reduktion auf die erste Figur

Die vierte Figur hat folgende Form:

	Obersatz: P – M
	Untersatz: M – S
Es folgt:	Konklusion: S – P

Die gültigen Modi der vierten Figur sind Calemes, Dimatis, Fresison, Bamalip, Calemop und Fesapo.

AAI – Modus Bamalip

Beispiel

	Alle Quadrate sind Rechtecke
	Alle Rechtecke sind Vierecke
Es folgt:	Einige Vierecke sind Quadrate

Anmerkung: Der Modus Bamalip setzt voraus, dass das Subjekt nicht leer ist, dass es im Beispiel also tatsächlich Quadrate und Rechtecke gibt (wobei die Existenz letzterer in diesem Fall aus der Existenz ersterer bereits folgt); vergleiche Abschnitt Existenzielle Voraussetzungen .

Reduktion des Beispiels auf die erste Figur: Für die Prämissen hat das Merkwort „Bamalip“ lediglich die eine Handlungsanweisung parat, ihre Reihenfolge zu vertauschen (Konsonant „m“ an beliebiger Stelle). Der zweite bedeutungstragende Konsonant im Wortinneren ist das „p“, das zu einer Umwandlung durch Einschränkung – dh eine Vertauschung von Subjekt und Prädikat einer Aussage sowie ihre Veränderung ihrer Quantität von allgemein (A, E) zu partikulär (I, O) – auffordert. Nun steht das „p“ aber am Wortende – dies ist der Sonderfall, bei dem nicht die Konklusion des zu reduzierenden Syllogismus umgewandelt werden muss, sondern die Konklusion des Syllogismus, auf den reduziert werden soll. Reduziert werden soll – das Merkwort „Bamalip“ beginnt mit „B“ – auf Barbara, und unterzieht man dessen Konklusion, „Alle S sind P“, einer Umwandlung durch Einschränkung, so lautet sie „Einige P sind S“. Dem solcherart aus Modus Barbara entstandenen Syllogismus „Alle M sind P. Alle S sind M. Also sind einige P S.“ entspricht nun aber genau der umgeformte Syllogismus Bamalip, „Alle Rechtecke (M) sind Vierecke (P). Alle Quadrate (S) sind Rechtecke (M). Also sind einige Vierecke (P) Quadrate (S).“ Bamalip ist damit auf die erste Figur zurückgeführt.

AEE – Modus Calemes

Beispiel

	Alle Passauer sind Bayern
	Keine Bayern sind Sachsen
Es folgt:	Keine Sachsen sind Passauer

Reduktion des Beispiels auf die erste Figur: Reduziert wird auf einen Modus Celarent, wie der Anfangsbuchstabe des Merkworts „Calemes“ anzeigt. Der letzte Vokal in „Calemes“ wird vom bedeutungstragenden Konsonanten „s“ gefolgt, der eine einfache Umwandlung der Konklusion in demjenigen Syllogismus anfordert, auf den reduziert werden soll. Wandelt man den Modus Celarent entsprechend um, dh, vertauscht man in seiner Konklusion Subjekt und Prädikat, entsteht der Modus „Keine M sind P. Alle S sind M. Also sind keine P S.“ Auf diesen lässt sich Modus Calemes reduzieren, und zwar – der einzige weitere bedeutungstragende Konsonant im Merkwort „Calemes“ ist das „m“ – durch eine Vertauschung seiner Prämissen. Der so entstehende Syllogismus ist von der gewünschten Gestalt: „Keine Bayern (M) sind Sachsen (P). Alle Passauer (S) sind Bayern (M). Also sind keine Sachsen (P) Passauer (S).“

IAI – Modus Dimatis

Beispiel

	Einige Rauten sind Rechtecke
	Alle Rechtecke sind Parallelogramme
Es folgt:	Einige Parallelogramme sind Rauten

Reduktion des Beispiels auf die erste Figur: Reduziert wird auf Darii, wie der Anfangsbuchstabe des Merkwortes „Dimatis“ anzeigt. Das „m“ fordert eine Vertauschung der Prämissen. Das „s“ am Wortende zeigt die Notwendigkeit einer einfachen Umwandlung – dh Vertauschung von Subjekt und Prädikat – der Konklusion des Ziel -Syllogismus, also des Darii an. Tatsächlich hat der entstandene Syllogismus die Gestalt eines Modus Darii mit derart umgewandelter Prämisse: „Alle Rechtecke (M) sind Parallelogramme (P). Einige Rauten (S) sind Rechtecke (M). Also sind Einige Parallelogramme (P) Rauten (S).“

EAO – Modus Fesapo

Beispiel

	Keine Passauer sind Münchner
	Alle Münchner sind Stadtbewohner
Es folgt:	Einige Stadtbewohner sind keine Passauer

Anmerkung: Der Modus Fesapo setzt voraus, dass der Mittelbegriff nicht leer ist, dass es im Beispiel also tatsächlich Münchner gibt; vergleiche Abschnitt Existenzielle Voraussetzungen .

Reduktion des Beispiels auf die erste Figur: Um den Syllogismus auf einen Modus Ferio zurückzuführen (das Merkwort „Fesapo“ beginnt mit einem „F“) muss die erste Prämisse einer einfachen Umwandlung unterzogen werden (unmittelbar nach dem ersten Vokal im Merkwort „Fesapo“ steht ein „s“) und muss die zweite Prämisse einer Umwandlung durch Einschränkung unterzogen werden (unmittelbar nach dem zweiten Vokal im Merkwort „Fesapo“ steht ein „p“). Der solcherart entstehende Syllogismus ist tatsächlich vom Typ Ferio: „Keine Münchner (M) sind Passauer (P). Einige Stadtbewohner (S) sind Münchner (M). Also sind einige Stadtbewohner (S) keine Passauer (P).“

EIO – Modus Fresison

Beispiel

	Keine Passauer sind Münchner
	Einige Münchner sind Studenten
Es folgt:	Einige Studenten sind keine Passauer

Reduktion des Beispiels auf die erste Figur: Um einen Modus Fresison auf die erste Figur zu reduzieren, müssen beide Prämissen einer einfachen Umwandlung unterzogen werden, denn das Merkwort Fresison enthält sowohl unmittelbar nach dem ersten Vokal als auch unmittelbar nach dem zweiten Vokal den Konsonanten „s“. Weitere bedeutungstragende Konsonanten sind nicht enthalten, sodass der durch diese beiden Umwandlungen entstehende Syllogismus bereits die Form eines Modus Ferio (das Merkwort „Fresison“ beginnt mit einem „F“) der ersten Figur hat: „Keine Münchner (M) sind Passauer (P). Einige Studenten (S) sind Münchner (M). Also sind einige Studenten (S) keine Passauer (P).“

Wesentlich verschiedene Syllogismen

Die Equivalenzen "XeY genau dann falls YeX" und ebenso "XiY genau wenn YiX" erlauben es, Syllogismen in mehreren Paaren miteinander zu identifizieren, im EIO-Fall sogar vier, durch alle vier Figuren. Dann bleibt eine verkürzte Liste von nur acht Syllogismen übrig, falls noch Abschwächungen gestrichen werden: Barbara, Darii, Felapton, Ferio, Camestres, Celarent, Bocardo und Baroco.

Siehe auch

Begriffslogik
Syllogismen in der traditionellen Rhetorik :
- Enthymem – teilweise als Syllogismus verstandener Schluss, oft in verkürzter Darstellung
- Epicherem – Syllogismus, in dem jede Prämisse ihrerseits ein verkürzter Syllogismus ist
Subsumtion – Syllogismus in juristischen Arbeiten

Literatur

Aristoteles: Erste Analytiken I . Aristoteles: Analytica Priora. Buch I. Übersetzt und erläutert von Theodor Ebert und Ulrich Nortmann. Berlin: Akademie Verlag, 2007 ISBN 978-3-05-004427-9 (mit umfangreichem Kommentar)
Aristoteles: Analytica Posteriora . Übersetzung und Kommentar von Wolfgang Detel . Berlin, Akademie-Verlag 1998. ISBN 3-05-001796-1 . (mit umfangreichem Kommentar)
Aristoteles: Organon . Griechisch-Deutsch. Übersetzung und Kommentar von HG Zekl. 4 Teile in 3 Bänden, Meiner 2001, ISBN 3-7873-1596-9 . (die Übersetzung ist bei ihrem ersten Erscheinen äußerst scharf als unbrauchbar kritisiert worden; vgl. die Rezension von Hermann Weidemann in: Zeitschrift für philosophische Forschung 53, 1999, Seite 602–610)
Aristoteles: Topik . Ditzingen: Reclam 2004. (=Reclams Universal-Bibliothek 18337) ISBN 3-15-018337-5 , ISBN 978-3-15-018337-3 .
Helmut Gätje : Bemerkungen zum System der Syllogismen . Universität des Saarlandes , Fach Orientalistik, Saarbrücken 1978.
Bruno von Freytag-Löringhoff : Über das System der modi des Syllogismus . In: Zeitschrift für philosophische Forschung . Bd. 4, Nr. 2/1949, S. 235–256.
Günther Patzig : Die aristotelische Syllogistik. Logisch-philologische Untersuchung über das Buch A der „Ersten Analytik“ . 3. Aufl., Göttingen, 1969.
Albert Menne : Logik und Existenz . (Eine logistische Analyse der kategorischen Syllogismusfunktoren und das Problem der Nullklasse) Meisenheim 1954.
Michael Wolff : Abhandlung über die Prinzipien der Logik. Mit einer Rekonstruktion der aristotelischen Syllogistik . Zweite, verbesserte und erweiterte Auflage, Frankfurt am Main: Klostermann 2009. ISBN 978-3-465-03639-5 .
in englischer Sprache:
- Otto Bird: Syllogistic and Its Extensions , Englewood Cliffs: Prentice-Hall 1964. (einfache Darstellung)
- William Kneale , Martha Kneale : The Development of Logic , Clarendon Press 1962. ISBN 0-19-824773-7 . (Standardwerk zur Geschichte der Logik)
- Jan Łukasiewicz : Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic , Oxford: Clarendon Press ² 1957, danach Taylor & Francis 1987, ISBN 0-8240-6924-2 . und Oxford University Press 1998 (=Oxford University Press Academic Monograph Reprints), ISBN 0-19-824144-5 . (Standardwerk der modernen Syllogismusforschung)
- Paul Thom: The Syllogism , München: Philosophia 1981, ISBN 3-88405-002-8 .

Weblinks

Commons : Syllogismen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Syllogismus – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Robin Smith: Aristotle's Logic. In: Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy .
Henrik Lagerlund: Medieval Theories of the Syllogism. In: Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy .
Terence Parsons: The Traditional Square of Opposition. In: Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy .
Niko Strobach: Neuere Interpretationen der aristotelischen Syllogistik (PDF; 112 kB)
Edward D. Buckner. (Hg.):Square of Opposition (Textsammlung, engl.)
syllogistisches Online-Programm
Computational Aristotelian Term Logic ( Memento vom 17. Juli 2009 im Internet Archive ) – ausführliches Syllogistisches Online-Programm in englischer Sprache

Einzelnachweise

↑ Übersetzung Wagner/Rapp
↑ So unterscheidet noch Meyers Großes Konversations-Lexikon von 1905 bis 1909 zwischen dem Syllogismus im weiteren Sinn („in der Logik im allgemeinen der Schluß überhaupt“ – Band 19, Seite 234) vom Syllogismus im engeren Sinn (dem „kategorischen S[chluss], dem Syllogismus des Aristoteles“ – Band 17, Seite 877).
↑ ^a ^b „Logic“, in: The New Encyclopaedia Britannica , Chicago ua 15. Aufl. 2003, Band 23, Seite 263
↑ Albert Veraart: Galenische Figur, in: Jürgen Mittelstraß: Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Metzler Stuttgart 1996, ISBN 3-476-02012-6 , 1. Band, Seite 699
↑ „Logic“, in: The New Encyclopaedia Britannica , Chicago ua 15. Aufl. 2003, Band 23, Seite 265
↑ NI Kondakow: Wörterbuch der Logik. VEB Bibliographisches Institut Leipzig 1. Aufl. 1978, Seite 410
↑ Jan Łukasiewicz : Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic , Oxford: Clarendon Press ² 1957.
↑ „The result [of Łukasiewicz's] is something of great interest, but very different from Aristotle's own conception of his work“ ( Kneale /Kneale: The Development of Logic, Seite 80)
↑ Günther Patzig: Die aristotelische Syllogistik. Logisch-philologische Untersuchung über das Buch A der „Ersten Analytik“ . 3. Aufl., Göttingen, 1969.
↑ Niko Strobach: Neuere Interpretationen der aristotelischen Syllogistik (PDF; 112 kB), Seite 13, insbesondere das dort gebrachte Prior -Zitat „The Prior Analytics ... is not a book of syllogisms, but a book about syllogisms, and the statement ‚If B is predicable of every M, and M of every A, then B is predicable of every A' is a perfectly natural way of talking about syllogisms of the form ‚Every B is M, and every M is A, therefore etc.', and saying that all such syllogisms are valid.“
↑ Gereon Wolters: Syllogistik, in: Jürgen Mittelstraß: Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Metzler Stuttgart 1996, ISBN 3-476-02012-6 , 4. Band, Seite 156–158, Seite 157, Spalte 2
↑ Als Beispiel für diese Sicht sei die Duden-Grammatik von 1966 genannt (Duden Band 4, 2. Auflage 1966, § 6020 c, Seite 540), die das Wort „sterblich“ in diesem Zusammenhang als eine Form von Umstandsergänzung betrachtet, genauer als Artergänzung (§ 5280, Seite 481): „Um eine Artergänzung handelt es sich aber auch dort, wo die Artangabe den ‚kopulativen' Verben folgt, weil wir ihr auch in diesen Fällen den Wert eines selbständigen Satzgliedes zusprechen[.]“ (§ 5285, Seite 481) bzw. „Neuere Auffassungen sprechen auch [den Kopulaverben] den gleichen Rang [eines Prädikats] zu“ (§ 5125, Seite 473)
↑ Ein Beispiel für diese Sicht ist die aktuelle Duden-Grammatik: „Prädikativverben verbinden sich mit einem Subjekts- oder Objektsprädikativ zu einem mehrteiligen Prädikat. Hierzu gehören die so genannten Kopulaverben [wie] sein “ (Duden Band 4, 7. Auflage 2005, § 577, Seite 421)
↑ „Since the seventeenth century most writers have adopted the suggestion of John Philoponus that the major term be defined as the predicate of the conclusion“ (Kneale/Kneale: The Development of Logic, Seite 71)
↑ „[I]t would probably be a mistake to lay much emphasis on the distinction. For in the detailed application of his theory Aristotle reasons as though his conditional statements were in effect rules of inference rather than theses.“ (Kneale/Kneale: The Development of Logic, Seite 80)
↑ Christian Thiel: Logisches Quadrat , in: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. 1. Aufl. 1995, 2004, Band 3, Seite 423
↑ siehe z. B. Niko Strobach: Neuere Interpretationen der aristotelischen Syllogistik (PDF; 112 kB), Seite 5f.
↑ „In order to justify Aristotle's doctrine as a whole it is necessary, then, that he assumed application for all the general terms with which he dealt.“ (Kneale/Kneale: The Development of Logic, Seite 60, Hervorhebung im Original)
↑ Diese Variante der Definition entlehnt sich aus „Distribution“, in: Encyclopaedia Britannica , Band 4, 15. Aufl. 2003, Seite 129
↑ siehe Bird 1964, Seite 20–22
↑ „A simple set of rules of validity was finally produced in the later Middle Ages, based on the concept of Distribution.“ ( CL Hamblin : Fallacies. Methuen London 1970, ISBN 0-416-70070-5 , Seite 195)
↑ siehe CL Hamblin: Fallacies. Methuen London 1970. ISBN 0-416-70070-5 , Seite 117, wo allerdings in Fußnote 1 darauf hingewiesen wird, dass es Vorläufer gebe.
↑ Kneale/Kneale: The Development of Logic, Seite 231–234
↑ Die Darstellung des indirekten Beweises im Syllogismus folgt sehr eng „Logic“, in: The New Encyclopaedia Britannica , Chicago ua 15. Aufl. 2003, Band 23, Seite 262f.
↑ z. B. auch im Standardlehrbuch Otto Bird: Syllogistic and Its Extensions , Englewood Cliffs: Prentice-Hall 1964, Seite 27ff.

[1] Übersetzung Wagner/Rapp

[2] So unterscheidet noch Meyers Großes Konversations-Lexikon von 1905 bis 1909 zwischen dem Syllogismus im weiteren Sinn („in der Logik im allgemeinen der Schluß überhaupt“ – Band 19, Seite 234) vom Syllogismus im engeren Sinn (dem „kategorischen S[chluss], dem Syllogismus des Aristoteles“ – Band 17, Seite 877).

[neb23-263-3] „Logic“, in: The New Encyclopaedia Britannica , Chicago ua 15. Aufl. 2003, Band 23, Seite 263

[4] Albert Veraart: Galenische Figur, in: Jürgen Mittelstraß: Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Metzler Stuttgart 1996, ISBN 3-476-02012-6 , 1. Band, Seite 699

[5] „Logic“, in: The New Encyclopaedia Britannica , Chicago ua 15. Aufl. 2003, Band 23, Seite 265

[6] NI Kondakow: Wörterbuch der Logik. VEB Bibliographisches Institut Leipzig 1. Aufl. 1978, Seite 410

[7] Jan Łukasiewicz : Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic , Oxford: Clarendon Press ² 1957.

[8] „The result [of Łukasiewicz's] is something of great interest, but very different from Aristotle's own conception of his work“ ( Kneale /Kneale: The Development of Logic, Seite 80)

[9] Günther Patzig: Die aristotelische Syllogistik. Logisch-philologische Untersuchung über das Buch A der „Ersten Analytik“ . 3. Aufl., Göttingen, 1969.

[10] Niko Strobach: Neuere Interpretationen der aristotelischen Syllogistik (PDF; 112 kB), Seite 13, insbesondere das dort gebrachte Prior -Zitat „The Prior Analytics ... is not a book of syllogisms, but a book about syllogisms, and the statement ‚If B is predicable of every M, and M of every A, then B is predicable of every A' is a perfectly natural way of talking about syllogisms of the form ‚Every B is M, and every M is A, therefore etc.', and saying that all such syllogisms are valid.“

[11] Gereon Wolters: Syllogistik, in: Jürgen Mittelstraß: Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Metzler Stuttgart 1996, ISBN 3-476-02012-6 , 4. Band, Seite 156–158, Seite 157, Spalte 2

[12] Als Beispiel für diese Sicht sei die Duden-Grammatik von 1966 genannt (Duden Band 4, 2. Auflage 1966, § 6020 c, Seite 540), die das Wort „sterblich“ in diesem Zusammenhang als eine Form von Umstandsergänzung betrachtet, genauer als Artergänzung (§ 5280, Seite 481): „Um eine Artergänzung handelt es sich aber auch dort, wo die Artangabe den ‚kopulativen' Verben folgt, weil wir ihr auch in diesen Fällen den Wert eines selbständigen Satzgliedes zusprechen[.]“ (§ 5285, Seite 481) bzw. „Neuere Auffassungen sprechen auch [den Kopulaverben] den gleichen Rang [eines Prädikats] zu“ (§ 5125, Seite 473)

[13] Ein Beispiel für diese Sicht ist die aktuelle Duden-Grammatik: „Prädikativverben verbinden sich mit einem Subjekts- oder Objektsprädikativ zu einem mehrteiligen Prädikat. Hierzu gehören die so genannten Kopulaverben [wie] sein “ (Duden Band 4, 7. Auflage 2005, § 577, Seite 421)

[14] „Since the seventeenth century most writers have adopted the suggestion of John Philoponus that the major term be defined as the predicate of the conclusion“ (Kneale/Kneale: The Development of Logic, Seite 71)

[15] „[I]t would probably be a mistake to lay much emphasis on the distinction. For in the detailed application of his theory Aristotle reasons as though his conditional statements were in effect rules of inference rather than theses.“ (Kneale/Kneale: The Development of Logic, Seite 80)

[16] Christian Thiel: Logisches Quadrat , in: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. 1. Aufl. 1995, 2004, Band 3, Seite 423

[17] siehe z. B. Niko Strobach: Neuere Interpretationen der aristotelischen Syllogistik (PDF; 112 kB), Seite 5f.

[18] „In order to justify Aristotle's doctrine as a whole it is necessary, then, that he assumed application for all the general terms with which he dealt.“ (Kneale/Kneale: The Development of Logic, Seite 60, Hervorhebung im Original)

[19] Diese Variante der Definition entlehnt sich aus „Distribution“, in: Encyclopaedia Britannica , Band 4, 15. Aufl. 2003, Seite 129

[20] siehe Bird 1964, Seite 20–22

[21] „A simple set of rules of validity was finally produced in the later Middle Ages, based on the concept of Distribution.“ ( CL Hamblin : Fallacies. Methuen London 1970, ISBN 0-416-70070-5 , Seite 195)

[22] siehe CL Hamblin: Fallacies. Methuen London 1970. ISBN 0-416-70070-5 , Seite 117, wo allerdings in Fußnote 1 darauf hingewiesen wird, dass es Vorläufer gebe.

[23] Kneale/Kneale: The Development of Logic, Seite 231–234

[24] Die Darstellung des indirekten Beweises im Syllogismus folgt sehr eng „Logic“, in: The New Encyclopaedia Britannica , Chicago ua 15. Aufl. 2003, Band 23, Seite 262f.

[25] z. B. auch im Standardlehrbuch Otto Bird: Syllogistic and Its Extensions , Englewood Cliffs: Prentice-Hall 1964, Seite 27ff.

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